3. Метод штучної бази.

Застосовується у тих випадках, коли в вихідній задачі ЛП, яка записана у канонічному вигляді, в системі обмежень немає необхідної кількості одиничних ортогональних незалежних векторів P_j, тобто важко вказати початковий опорний план.

М-метод полягає у використанні правил симплекс – методу до так званої задачі ЛП. Вона отримується із початкової додованням до лівої частини системи рівнянь таких штучних одиничних векторів з відповідними невід’ємними штучними змінними, щоб знову отримати m одиничних ортогональних лінійно незалежних векторів.

У цільовій функції задачі ЛП штучні змінні мають коефіцієнт - М (f(x)→max) або +М (f(x)→min), де під М ми розуміємо досить велике додатне число.

При розв’язанні цієї задачі симплекс-методом оцінки Δ_j будуть залежити від М. Для порівняння оцінок, треба пам’ятати, що М – достатньо велике додатне число, тому із базису будуть виключатися у першу чергу штучні вектори.

Якщо із базису всі штучні вектори вийшли, то ми отримали вихідну задачу.

Якщо оптимальний розв’язок М – задачі містить штучні змінні або М – задача нерозв’язна, то початкова задача також нерозв’язна.

4. Двоїста задача лп.

Пряма задача

, x_j ≥0 (j=1,2…..n)

де А – матриця системи обмежень задачі розміром mxn;

В – вектор стовпець;

С – вектор строка;

АХ≤В;

Z →max.

Двоїста задача

tr = , y_i ≥0 (i=1,2…..m)

де trA – транспонована матриця А;

trС – транспонований вектор С;

trB - транспонований вектор В;

AY ≥trC;

F →min.

Існує взаємно-однозначна відповідність між змінними: основним змінним прямої задачі відповідають додаткові змінні двоїстої задачі і навпаки:

Змінні прямої задачі
Основні				Додаткові
Х1	Х2	……..	Хк	Хк+1	Хк+2	……….	Хn
Yn-k+1	Yn-k+2	……..	Yn	Y1	Y2	………	Yn-k
Додаткові				Основні
Змінні двоїстої задачі

Ідея двоїстого симплексного методу полягає у зв’язку між розв’язуваннями прямої та двоїстої задач ЛП. Немає потреби окремо розв’язувати пряму задачу, а окремо двоїсту, оскільки розв’язок обох задач можна знайти за одними й тими самими симплекс таблицями, пам’ятаючи, що невідомим прямої задачі відповідають стовпчики таблиці, а невідомим другої – рядки таблиці.

Питання для самоконтролю.

• В чому полягає симплекс-метод із стандартним базисом?

• Коли використовують симплекс-метод зі штучним базисом?

• Принципи заповнення симплекс-таблиці.

• Що таке розв’язувальний елемент симплекс-таблиці?

• Як перевірити опорний план на оптимальність?

• Поясніть метод Жордана-Гауса.

• Що таке штучні змінні?

• Як по рішенню прямої задачі знайти рішення двоїстої задачі.

• В чому полягає ідея двоїстого симплекс методу