4.2 Задание

4.2.1 Выберите в соответствии с вариантом временные ряды с членами, с членами и с членами (таблица 4.1).

4.2.2 Построить графики функций , , .

4.2.3 Рассчитать свертку, как результат взаимного сдвига рядов и , построить ее график.

4.2.4 Рассчитать ФВК, как результат взаимного сдвига рядов и , построить ее график и по графику определить сдвиг между этими рядами в номерах отсчетов .

4.2.5 Рассчитать ФАК, как результат взаимного сдвига ряда , построить в номерах отсчетов .

4.3 Содержание отчета

4.3.1 Описание физического смысла рассмотренных преобразований.

4.3.2 Методика расчета

4.3.3 Вычисление свертки и корреляционных функций.

4.3.4 Выводы, графики, приложения.

4.4 Контрольные вопросы

4.4.1 Дать определение свертки, объяснить ее физический смысл и рассказать о том, как эта функция используется при обработке геофизической информации.

4.4.2 Как в геофизике используется ФАК?

4.4.3 Как в геофизике используется ФВК?

4.4.4 Дайте определения корреляционных функций, расскажите об их свойствах.

Лабораторная работа № 5 вычисление рекурсивного фильтра режекторного типа

Цель работы: ознакомиться с алгоритмами расчета фильтров во временной области, которые позволяют сократить выполнение математических операций в несколько раз.

5.1 Вопросы теории и методики

Рекурсивная фильтрация относится к классу одноканальных фильтров. Слово «рекурсия» означает, что при расчете последующих отсчетов применялись предшествующие значения. Рекурсивный фильтр состоит из двух каузальных фильтров, один из которых подключен к электрической цепи обратно. Тогда можно рассматривать рекурсивную фильтрацию как многоканальную. Получается, что входной сигнал проходит через первый фильтр, сигнал на выходе первого фильтра задерживается на один шаг дискретизации блоком задержки и сворачивается со вторым фильтром . Общий выходной сигнал, прошедший через два фильтра, определится разностью 2-х выходных сигналов

. (5.1)

Запишем данное выражение в частотном виде

. (5.2)

В соответствии с теоремой о свертке, спектр выходного сигнала равен произведению спектров фильтра и входного сигнала, т.е.

. (5.3)

отсюда искомый рекурсивный фильтр определится как

. (5.4)

Воспользуемся формулами (1.2) и (1.4)

. (5.5)

Можно записать полученную формулу в виде преобразования. Пусть , , , где , тогда

. (5.6)

Если разделить числитель на знаменатель в формуле (5.6), то получим преобразование. Таким образом, можно сделать вывод, что спектр рекурсивного фильтра есть преобразование

, (5.7)

где временная характеристика рекурсивного фильтра. Ее расчет сводится к расчету 2-х каузальных фильтров, и . Рассмотрим рекурсивный фильтр режекторного типа, целью которого является подавление какой-либо частоты . Такой фильтр рассчитывается по следующей формуле

. (5.8)

Как видим, рекурсивный фильтр режекторного типа состоит всего из 5 элементов, что позволяет сократить количество математических операций в несколько раз, что сокращает в свою очередь стоимость обработки. Для расчета фильтра используют так называемый метод «нулей» и «полюсов». «Нули» - это корни полинома, находящегося в числителе уравнения (5.8), «полюса» - корни полинома, стоящего в знаменателе. По формуле Эйлера известно, что

. (5.9)

т.е. - действительная часть z

- мнимая часть z, значит, эту величину можно рассматривать на комплексной плоскости в виде окружности радиусом 1 (так как )).

Для того, чтобы такой фильтр подавлял частоту , необходимо, чтобы «нули» располагались на комплексной окружности радиусом 1, т.е. должны быть равны 1, а «полюса» должны располагаться вне этой окружности, т.е. должны быть больше 1 (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – «Нули» и «полюса» на комплексной плоскости

Амплитудно-частотная характеристика рекурсивного фильтра режекторного типа определяется следующей формулой:

, (5.10)

где координата точки - «ноль»

- комплексно-сопряженная координата точки

- координата точки - «полюс»

- комплексно-сопряженная координата точки (рисунок 5.1). Полюс выбирают для того, чтобы амплитудно-частотная характеристика была остронаправленной, т.е. подавляла только нужную нам частоту, хорошо пропуская соседние частоты. Удобнее всего расположить полюса на продолжении лучей, соединяющих начало координат с нулями фильтра, например, на расстоянии 1,02.

Для того, чтобы определить координату точки , которая покажет амплитудно-частотную характеристику режекторного фильтра, подавляющего некоторую частоту , достаточно определить угол , который вычисляется по следующей формуле

, (5.11)

где - частота, которую нужно подавить,

- шаг дискретизации.

В соответствии с формулой (5.8) выходной сигнал, полученный на выходе рекурсивного фильтра можно получить

или . (5.12)

Записав это уравнение во временном представлении, получим

. (5.13)

На основании этой формулы можно вывести общую формулу для расчета отсчетов выходного сигнала рекурсивного фильтра.