Лабораторная работа № 3 вычисление преобразования фурье

Цель работы: Вычисление основного линейного преобразования, наиболее часто используемого при обработке геофизических данных.

3.1 Вопросы теории и методики

В том случае, когда мы представляем сейсмическую информацию как изменение во времени амплитуд выходных сигналов, полученных с сейсмоприемников (измеренного в момент взрыва), то мы ведем рассмотрение сейсмического сигнала во временной области, т.е. независимой переменной является время. Однако очень часто бывает необходимым рассматривать сейсмическую волну как результат наложения множества синусоидальных волн, различающихся по частоте, амплитуде и фазе. Соответствующие амплитуды и фазы являются функциями частоты, значит, анализ этих сигналов проводится в частотной области. Функцию, зависящую от частоты, называют спектром или частотной характеристикой.

Основу обработки сейсмических сигналов составляют три вида математических операций, которые являются линейными: преобразование Фурье, свертка, корреляционные функции.

Для того, чтобы пересчитать функцию, зависящую от времени (сейсмическую трассу) в функцию, зависящую от частоты, используют преобразование Фурье. Таким образом, преобразование Фурье используется для трансформации временной функции в соответствующий спектр и наоборот.

Оказывается, что любую временную функцию, которая удовлетворяет условиям Дирихле, а именно:

1) Функция должна быть периодической, т.е. должно выполняться следующее условие , где Т – период;

2) Функция должна иметь конечное число скачков и разрывов;

3) Функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов;

4) Интеграл функции должен сходиться, т.е. иметь решение

, (3.1)

где - любое число, можно разложить на простые гармоники с различными частотами. В этом и заключается смысл преобразование Фурье, т.е. это математическое выражение позволяет разложить сложный волновой пакет на простые составляющие с различным частотным составом.

Если имеется временная функция , то в частотную область ее можно перевести в соответствии со следующим интегральным линейным преобразованием

, (3.2)

где комплексный спектр временной функции и наоборот, с помощью спектра всегда можно восстановить временную функцию

. (3.3)

Формулы (3.2) и (3.3) описывают соответственно прямое и обратное преобразования Фурье и про эти 2 функции говорят, что они образуют пару преобразований Фурье, т.е. .

Спектр функции можно представить и через другие параметры. Например,

, (3.4)

где - действительная часть комплексного спектра (3.5)

- мнимая часть комплексного спектра (3.6)

- амплитудный спектр (3.7)

- фазовый спектр (3.8)

Формулы (3.1)-(3.8) применимы к любым видам функций: вещественным, мнимым, четным, нечетным, комбинированным, лишь бы выполнялись условия Дирихле.