Соболева ИВ стр. 12 15.04.2025

1.1. Основные понятия математического программирования.

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных в данной ситуации. С точки зрения практики, методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучший вариант распределения ресурсов и др.

В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых переменных, определяющих данную задачу. Примерами таких переменных являются: численность исполнителей, станков, машин и др. Число переменных (обозначим их X₁, X₂,...,Х_n, где n - число переменных) характеризует степень сложности задачи оптимизации.

Выбор оптимального решения или сравнение двух возможных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), опре­деляемой переменными. Эта величина называется целевой функцией или критерием качества. В роли таких функций могут выступать различные показатели эффективности, например, приведенные затраты от просто­ев машин, приведенные затраты от содержания дополнительного оборудования, общий грузооборот или средняя стоимость перевозки тонны груза и др. Целевую функцию запишем в виде:

Z=F(X₁,X₂,…,X_n)

В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения переменных, при которых целевая функция имеет экстремум (максимум или минимум). Критерий в каждом конкретном случае выби­рается исходя из целевой направленности задачи исследования.

Примерами, целевой функции, встречающимися на практике, являют­ся прочность и масса конструкций, мощность установки, объем выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и др.

Если для отыскания оптимального решения достаточно просмотреть небольшое количество возможных вариантов, то решение значительно упрощается. Однако часто оказывается, что число вариантов так велико, что прямой перебор всех их является или весьма трудоемким, или даже практически невозможным. Обычно дело осложняется также тем, что на независимые переменные накладывается некоторые ограничения, которые должны быть выполнены. Эти ограничения могут касаться, например, общего числа располагаемых исполнителей или размеров капитальных вложений, максимально допустимого времени обслуживания и др.

Обозначим ограничения следующим образом:

Запись означает, что в ходе решения оптимизационной задачи сле­дует найти оптимальное значение "m" переменных с учетом налагаемых на них (m) ограничений. В общем случае как целевая функция, так и ограничения могут быть нелинейными функциями всех или некото­рых из рассматриваемых переменных.

Любое множество значений рассматриваемых переменных, удовлетворяющих всем ограничениям задачи, называют допустимым решением или планом. Допустимое решение, которое максимизирует или минимизирует целевую функцию, является оптимальным решением или оптимальным планом.

1.2. Общая задача математического программирования.

Сформулируем общую задачу математического программирования.

Предполагается к осуществлению некоторое мероприятие или серия мероприятий ("операция"), преследующих определенную цель. Необходимо так организовать (спланировать) операцию, чтобы она была наиболее эффективной, т.е. максимально соответствовала предъявленным к ней требованиям.

Дадим количественную, математическую постановку этой задачи.

Найти значения "n" переменных X₁, X₂,...,Х_n , которые неотрицательны

X_i 0, i=1,2,…,n

удовлетворяют "m" ограничениям:

и максимизируют функцию:

Z=F(X₁,X₂,…,X_n) MAX

Все многообразие встречающихся на практике случаев может быть сведено к описанной выше задаче.