Часть 1. Теория вероятностей
Алгебра случайных событий. Элементы комбинаторики.
Брошены две монеты. Рассматриваются события:
А – выпал «герб» на первой монете; В – выпала «решка» на первой монете;
С – выпал «герб» на второй монете; D – выпала «решка» на второй монете;
E – выпал хотя бы один «герб»; F – выпали два «герба».
Какими событиями этого списка являются:
а) А+C; б) АС; в) B+D; г) BE; д) A+E; е) AE; ж) DF.
1. Cколькими способами можно разместить на полке четыре книги?
2. Сколькими способами читатель может выбрать три книги из пяти?
3. Сколькими способами можно из 20 присяжных заседателей отобрать трех для участия в судебном процессе?
4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Сколько среди этих кубиков имеют окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три: г) ни одной.
5. Сколькими способами из 20 членов правления фирмы можно отобрать трех для замещения вакансий вице-президента, отвечающих соответственно за производство, финансы и реализацию продукции?
6. На железнодорожной станции имеется 10 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава?
7. Среди студентов, собравшихся на лекцию по ТВ, выбирают наудачу одного. Событие А = выбран юноша; В =не курит; С =живет в общежитии.
а) Описать
событие
.
б) При каком условии будет иметь место тождество АВС = А?
в) Когда будет
справедливо соотношение
?
г) Может ли быть
верным равенство
,
если все юноши курят?
8. Мишень
состоит из 10 кругов, ограниченных
концентрическими окружностями с радиусом
,
причем
.
Пусть событие
попадание в круг
радиуса
.
Что означают события:
;
;
?
9. Обладает ли следующая группа событий свойствами полной группы:
Испытание состоит в бросании 2х монет.
А
-
выпал хотя бы один «герб»; А
-
выпала хотя бы одна «решка».
Испытание состоит в 2х выстрелах по мишени.
А
-
ни одного попадания; А
-
ровно одно попадание; А
-
ровно 2 попадания.
Испытание состоит в бросании игральной кости.
А - выпало нечетное число очков; А - выпало четное число очков.
Испытание состоит в бросании 3х монет.
А - не выпало «гербов»; А - выпал один «герб»;
А
-
выпало два «герба»; А
-
выпало три «герба».
Испытание состоит в извлечении 2х карт из колоды.
А - выпали две черные карты; А - выпала дама; А - выпал туз.
1. Классическое и геометрическое определение вероятности
10. Из слова “НАУГАД” выбирается одна буква случайным образом. Какова вероятность того, что это буква Я? Какова вероятность того, что это гласная?
11. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 150 выигрышных. Наугад вынимается 1 билет из 1000. Чему равна вероятность, что билет выигрышный?
12. Студент знает ответы на 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что он вытащит на экзамене известный ему вопрос?
13. В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. Случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что отобран будет юноша.
14.При броске игральной кости вычислить вероятности следующих событий: а) выпало 2 очка; б) выпало 5 очков; в) выпало простое число очков;
г) число выпавших очков кратно трем; д) выпало нечетное число очков.
15. При броске двух игральных костей вычислить вероятности событий:
а) сумма выпавших очков больше их произведения;
б) сумма очков будет делиться на 3;
в) сумма очков будет четной (нечетной); г) сумма очков не менее 9;
д) выпала единица, по крайней мере, на одной кости;
е) сумма очков – четная, причем хотя бы на одной кости выпала 6;
ж) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем;
з) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем.
16. На карточках написаны буквы: А, Е, У, У, К, К, К, Р. Карточки перемешаны и разложены в ряд. Какова вероятность, что получится слово “кукареку”.
17. Из шести одинаковых карточек разрезной азбуки: «а», «е», «м», «н», «о», «р» наудачу выбирают четыре карточки и складывают их в ряд в порядке их извлечения. Какова вероятность получить при этом слово «море»?
18. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной случайным образом. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».
19. Из 18 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных в черте города окажется: а) 3 сбербанка; б) хотя бы один?
20. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?
21. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при сборке будут поставлены все три детали размера, больше обозначенного на чертеже. У сборщика 5 деталей, из оставшихся 11, большего размера. Найти вероятность для первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик брал детали наудачу: а) ненормальной работы; б) нормальной работы.
22. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется: а) внутри вписанного в круг квадрата;
б) за пределами вписанного в круг квадрата.
23. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет: а) в кольцо, образованное построенными окружностями; б) в малый круг.
24. Найти вероятность, что наудачу выбранное двузначное число делится:
а) на 8; б) на 8 и на 3; в) на 2 , 4 и 6.
25. В студенческой группе из 30 студентов 20 успевают на хорошо и отлично, 5 - удовлетворительно и остальные плохо. Найти вероятность, что из пяти случайно отобранных студентов: А - все успевают на хорошо и отлично; В - 3 хорошо и отлично, 1 удовлетворительно и 1 плохо; С - 3 удовлетворительно и 2 плохо.
26. Плоскость разделена параллельными прямыми на полосы шириной 10см каждая. На плоскость случайным образом брошен круг радиуса 2см. Найти вероятность того, что круг не пересечёт прямые.
27. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < а. Найти вероятность, что монета не пересечет ни одной прямой.