МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ Московский Государственный Институт Электроники и Математики

(Технический Университет)

Курсовая работа

«Решение задач линейного программирования в Excel»

Задание ХХХ.

Москва, 2010 г.

Содержательная и математическая постановка задачи.

На трех участках колхозного поля могут выращиваться 3 культуры: рожь, пшеница и ячмень. В следующей таблицы указаны размеры участков в Га, урожайность в ц/га на каждом из участков по каждой из культуре (верхняя часть клетки), затраты в чел-ч на 1 ц ( нижняя часть клетки) и плановое задание по сбору этих культур в ц.

	Урожайность и затраты
Участки в га	Рожь	Пшеница	Ячмень
50	14	16	16
	2	2,5	3
50	10	15	20
	2,4	3	3,2
40	15	16	24
	1,8	2	2,5
План	500	300	400

1). Определить оптимальную структуру посевов, минимизирующую суммарные затраты.

2). Определить оптимальную структуру посевов, если по плану пшеницы надо получить не менее, чем ячменя, а ржи не менее, чем в два раза больше пшеницы.

Составим математическую модель.

Пусть в задаче: i = 1, 2, 3 ( имеется три культуры: рожь, пшеница, ячмень) и j=1, 2, 3 ( имеется три участка).

a_j – размер j участка

b_i – плановый сбор i культуры

c_ij – затраты

d_ij – урожайность i культуры на j участке

x_ij – размер j участка, занятого под i культуру.

Тогда структура посевов, минимизирующая суммарные затраты:

2·14х₁₁+2,4·10х₁₂+1,8·15х₁₃+2,5·16х₂₁+3·15х₂₂+2·16х₂₃+3·16х₃₁+3,2·20х₃₂+2,5·24х₃₃→min

Существует плановое задание по сбору:

Для ржи: 14 х₁₁+10 х₁₂+15х₁₃≥500

Для пшеницы: 16х₂₁+15х₂₂+16х₂₃≥300

Для ячменя: 16х₃₁+20х₃₂+24х₃₃≥400

Размеры участков ограничены:

х₁₁+ х₂₁+ х₃₁≤50

х₁₂+х₂₂+ х₃₂≤50

х₁₃+ х₂₃+х₃₃≤40

Условие неотрицательности:

x_ij≥0, i=1, 2, 3, j=1, 2, 3

Получаем задачу:

28х₁₁+24х₁₂+27х₁₃+40х₂₁+45х₂₂+32х₂₃+48х₃₁+64х₃₂+60х₃₃→min

14 х₁₁+10 х₁₂+15х₁₃≥500

16х₂₁+15х₂₂+16х₂₃≥300

16х₃₁+20х₃₂+24х₃₃≥400

х₁₁+ х₂₁+ х₃₁≤50

х₁₂+х₂₂+ х₃₂≤50

х₁₃+ х₂₃+х₃₃≤40

x_ij≥0, i=1, 2, 3, j=1, 2, 3

Перепишем задачу:

28х₁₁+24х₁₂+27х₁₃+40х₂₁+45х₂₂+32х₂₃+48х₃₁+64х₃₂+60х₃₃→min

14 х₁₁+10 х₁₂+15х₁₃≥500

16х₂₁+15х₂₂+16х₂₃≥300

16х₃₁+20х₃₂+24х₃₃≥400

-х₁₁- х₂₁- х₃₁≥-50

-х₁₂-х₂₂-х₃₂≥-50

-х₁₃-х₂₃-х₃₃≥-40

x_ij≥0, i=1, 2, 3; j=1, 2, 3

Задача линейного программирования.

Вывод двойственной задачи

Воспользуемся общими правилами построения двойственной задачи:

1. Каждому ограничению ЗЛП, кроме условия неотрицательности, сопоставляется двойственная переменная. В прямой задаче 6 ограничений =>‍ в двойственной задаче будет 6 переменных u₁, u₂ ,u₃ , v₁ ,v₂ , v₃. Каждой переменной в исходной задаче соответствует ограничение в двойственной задаче. В прямой задаче 9 переменных =>‍ в двойственной задаче будет 9 ограничений.

2. Ограничению неравенством исходной задачи, кроме условия неотрицательности, соответствует неотрицательная двойственная переменная. Ограничению равенством – свободная переменная. В прямой задаче 6 ограничений =>‍ в двойственной задаче условие неотрицательности будет состоять из 6 неотрицательных переменных u₁≥0,u₂ ≥0, u₃≥0 , v₁≥0 , v₂≥0, v₃≥0.

3. Если переменная исходной задачи неотрицательна, то в двойственной задаче ей соответствует ограничение неравенство. Тем, на которые условие неотрицательности не наложено, соответствует ограничение равенство. В прямой задаче 9 неотрицательных переменных =>‍ в двойственной задаче будет 9 ограничений - неравенств.

4. Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов прямой задачи транспонированием. И наоборот.

Матрица коэффициентов прямой задачи:

14	10	15	0	0	0	0	0	0
0	0	0	16	15	16	0	0	0
0	0	0	0	0	0	16	20	24
-1	0	0	-1	0	0	-1	0	0
0	-1	0	0	-1	0	0	-1	0
0	0	-1	0	0	-1	0	0	-1

Матрица коэффициентов двойственной задачи:

5. Коэффициенты целевой функции исходной задачи образуют правую часть ограничений двойственной задачи. Правая часть ограничений исходной задачи является коэффициентами целевой функции в двойственной задачи.

Коэффициенты ограничений целевой функции прямой ЗЛП: (28 24 27 40 45 32 48 64 60) правая часть ограничений прямой ЗЛП: (500 300 400 -50 -50 -40)

6. Если исходная задача – это задача на min, то двойственная задача к ней – это задача на max.

Таким образом, поучили двойственную задачу:

500u₁+300u₂+400u₃-50v₁-50v₂-40v₃ → max

14u₁-v₁≤ 28

10u₁-v₂ ≤ 24

15u₁-v₃≤ 27

16u₂ –v₁≤ 40

15u₂ –v₂≤ 45

16u₂ –v₃≤ 32

16u₃ –v₁≤ 48

20u₃ –v₂≤ 64

24u₃ –v₃≤ 60

u₁≥0, u₂ ≥0, u₃≥0, v₁≥0, v₂≥0, v₃≥0

Для интерпретации двойственной задачи, предположим, что все три культуры можно купить раздельно у продавца. u_i – стоимость планового сбора культур (руб/ц), v_i – стоимость га участка, если продавец решил бы его продать (руб/га). Продавец получает доход, равный 500u₁+300u₂+400u₃-50v₁-50v₂-40v_3, который хочет максимизировать. Цена, по которой можно продать участок не должна превосходить затрат в чел.-ч. на 1 ц. u₁≥0, u₂ ≥0, u₃≥0, v₁≥0, v₂≥0, v₃≥0 .

Нахождение оптимального решения

прямой и двойственной задачи в Excel

Прямая задача

В строке «Значение» указана оптимальная структура посевов, а в столбце «Затраты» указаны минимальные затраты, которые можно получить при оптимальной структуре посевов. В строках с названием «Ограниение1»- «Ограниение6» указаны граничные условия. В строках «Ограничение 1» - «Ограничение 3» указаны плановые ограничения по сборам, «Ограничение 4» - «Ограничение 6» ограничивают размеры участков. В столбце «Правая часть» указана правая часть этих ограничений, в столбце «Левая часть» указаны значения этих ограничений при оптимальном решении. Если значение в столбце «Разница» равно 0, то ресурс дефицитен, если равен положительному числу, то это остаток недефицитного ресурса.

Двойственная задача

В строке «Значение» указаны оптимальные цены на культуры, а в столбце «Приб.» указана максимальная прибыль, которую можно получить при продаже культур. В строках с названием «Ограниение1»- «Ограниение7» указаны граничные условия на стоимость участка, в столбце «Левая часть» указаны значения этих ограничений при оптимальном решении. Они выполнены.