Вопросы к курсу Математические методы и модели исследования операций 20072008

Вопросы к курсу

Математические методы и модели исследования операций

(лектор - доц. Л.А. Манита, 2007-2008 уч.г., МЭ-51, МЭ-52, ЭМ-51)

1. Основные понятия и задачи исследования операций.

2. Постановка задачи оптимизации. Определение локального и глобального решений.

3. Теорема Вейерштрасса. Бесконечно растущая функция. Теорема существования абсолютного минимума у бесконечно растущей функции.

4. Положительно определенные, отрицательно определенные, неположительно определенные, неотрицательно определенные, зна­копеременные симметрические матрицы. Собственные числа и знакоопределенность действительной симметрической матрицы. Критерий Сильвестра.

5. п -мерная задача без ограничений. Необходимые и достаточные условия оптимальности второго порядка.

6. Необходимые и достаточные условия оптимальности в одномерной задаче без ограничений.

7. Задача условной оптимизации. Геометрическая интерпретация.

8. Определение выпуклого множества. Свойства выпуклых множеств (пересечение выпуклых множеств).

9. Определение выпуклой функции. Надграфик выпуклой функции. Вторая производная дважды непрерывно дифференцируемой выпуклой функции.

10. Свойства выпуклых функций (сумма, максимум, композиция).

11. Задача с ограничениями в виде равенств. Необходимые условия оптимальности первого порядка в задаче с ограничениями в виде равенств. Условие регулярности.

12. Необходимое условие оптимальности второго порядка в задаче с ограничениями в виде равенств.

13. Достаточное условие оптимальности в задаче с ограничениями в виде равенств.

14. Задача с ограничениями в виде равенств и неравенств. Активные и пассивные ограничения. Необходимые условия оптимальности в задаче с ограничениями в виде равенств и неравенств.

15. Достаточные условия оптимальности в задаче с ограничениями в виде равенств и неравенств.

16. Выпуклая задача оптимизации. Свойства множества решений в выпуклой задаче.

17. Свойство непрерывно дифференцируемой выпуклой функции (график лежит выше касательной).

18. Необходимое условие оптимальности в выпуклой задаче.

19. Критерий оптимальности. Достаточное условие оптимальности.

20. Локальный и глобальный минимум в выпуклых задачах оптими­зации.

21. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. До­казательство необходимых условий оптимальности.

22. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. До­казательство достаточных условий оптимальности.

23. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Доказательство условия Слейтера.

24. Теорема Куна-Таккера в форме теоремы о седловой точке функции Лагранжа. Доказательство необходимых условий оптимальности.

25. Теорема Куна-Таккера в форме теоремы о седловой точке функции Лагранжа. Доказательство достаточных условий оптимально­сти.

26. Интерпретация множителей Лагранжа в задаче с ограничениями в виде равенств.

27. Интерпретация множителей Лагранжа в задаче с ограничениями в виде равенств и неравенств. Задача об оптимальном выпуске.

28. Задача о потреблении как задача выпуклого программирования. Значение множителя Лагранжа в задаче о потреблении.

29. Задача об оптимальном портфеле. Парето-оптимальные решения.

30. Задача об оптимальном портфеле. Оптимальное решение в задаче минимизации риска без ограничения на доходность.

31. Задача об оптимальном портфеле. Необходимые и достаточные условия оптимальности в задаче минимизации риска при фиксированной средней доходности.

32. Задача об оптимальном портфеле со смешанным функционалом. Задача об оптимальном портфеле при наличии безрисковых бумаг.

33. Задача линейного программирования. Каноническая и стандартная формы задачи линейного программирования.

34. Выпуклость допустимого множества в задаче линейного программирования.

35. Угловая точка. Свойства множества решений в задаче линейного программирования. Идея симплекс-метода.

36. Транспортная задача. Критерий существования решения в транс­ портной задаче. Достаточные условия существования целочислен­ного решения в транспортной задаче. Критерий оптимальности в транспортной задаче.

37. Сведение незамкнутой транспортной задачи к замкнутой. Метод запрета перевозок.

38. Задача о назначении как частный случай транспортной задачи. Существование решения в задаче о назначении.

39. Двойственная задача к задаче линейного программирования. Правила построения. Основные теоремы теории двойственности.

40. Двойственная задача к транспортной задаче. Интерпретация двойственных переменных (потенциалов).