Методичка Необходимые и достаточные условия локального экстремума

Составитель кандидат физ.-мат. наук Л.А. Манита

УДК 519

Необходимые и достаточные условия локального экстремума в задачах условной оптимизации: Метод. указания по выполнению контрольной работы по теме “Конечномерные задачи с ограничениями в виде равенств и неравенств. Метод множителей Лагранжа” по курсу “Математические методы и модели исследования операций” / Моск. гос. ин-т электроники и математики; Сост.: Л. А. Манита. М., 2003. 24 с.

Излагается правило множителей Лагранжа для решения конечномерных экстремальных задач. Предложены возможные варианты контрольной работы. Приведено подробное решение одного из вариантов.

Для студентов III курса экономических и математических специальностей.

ISBN

–3 –

Вданном пособии излагаются алгоритмы решения конечномерных задач с ограничениями в виде равенств и смешанными ограничениями в виде равенств-неравенств. Приводятся рекомендуемые варианты контрольной работы по теме “Конечномерные задачи с ограничениями в виде равенств и неравенств. Метод множителей Лагранжа”. Дано полное решение типового варианта.

Основные определения

Рассмотрим непустое множество X, являющееся подмножеством конечномерного линейного пространства Rn, и функцию f : X → R. Конечномерной задачей условной оптимизации будем называть задачу нахождения точек минимумов или максимумов функции f(x) на заданном множестве X.

Множество X называется допустимым множеством, любой элемент x X

допустимая точка, функция f целевая функция. Точки минимума и максимума называют точками экстремума. Задачу условной оптимизации кратко будем записывать следующим образом:

f(x) → extr, x X.

Если X = Rn, оптимизационная задача называется задачей безусловной оптимизации. Задачу максимизации функции f(x) на множестве X всегда можно свести к задаче на минимум, для этого надо заменить функцию f(x) на

˜ −

функцию f(x) = f(x). И наоборот, задачу на минимум можно аналогично свести к задаче на максимум.

В оптимизационных задачах различают 2 типа экстремумов: локальный

– 4 –

экстремум и глобальный.

Определение 1. Допустимая точка x X является точкой абсолютного или глобального минимума (x absmin) (максимумом (x absmax)) функции f(x) на множестве X, если для любого x X

Определение 2. Допустимая точка x является точкой локального минимума (x locmin) (максимума (x locmax)) функции f(x) на множестве

X, если существует δ > 0, такое, что для любой допустимой точки x, для которой kx − x k < δ, выполняется неравенство f(x) ≥ f(x ) (f(x) ≤ f(x )).

Из определений следует, что глобальный экстремум всегда является и локальным, обратное неверно.

Достаточные условия, гарантирующие существование глобальных решений в задачах условной оптимизации, приводятся в приложении I.

Далее рассмотрим задачи условной оптимизации, в которых допустимое множество X имеет специальный вид.

– 5 –

Конечномерная задача с ограничениями

в виде равенств

Пусть fi : Rn → R1, i = 0, 1, ..., m, функции n переменных. Конечномерной экстремальной задачей с ограничениями в виде равенств называется следующая задача:

f0(x) → extr, fi(x) = bi, i = 1, ..., m.

Т.е., допустимое множество задается системой, состоящей из m уравнений:

X = {x Rn : fi(x) = bi, i = 1, ..., m} .

Правило решения конечномерной задачи

сограничениями в виде равенств

1.Составить функцию Лагранжа:

m

X

L(x, λ) = λ0f0(x) + λi(fi(x) − bi).

i=1

2. Выписать необходимое условие локального экстремума:

3.Найти стационарные точки, т.е. допустимые решения пункта 2, для которых не все множители Лагранжа равны 0. При этом удобно отдельно

– 6 –

рассмотреть случаи λ0 = 0 и λ0 6= 0. Во втором случае можно положить

λ0 равным любой ненулевой константе.

4.Определить, используя достаточные условия локального экстремума, какая из найденных стационарных точек является локальным минимумом или локальным максимумом.

5.Выяснить, есть ли глобальные минимум и максимум в данной задаче.

Замечание 1. Формулировки теорем о необходимых и достаточных условиях локального экстремума в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств даны в приложении II.

Конечномерная задача с ограничениями в виде

равенств и неравенств

Пусть fi : Rn → R , i = 1, ..., m, функции n переменных. Конечномерной экстремальной задачей с ограничениями в виде равенств и неравенств называется следующая задача:

f0(x) → extr,

fi(x) ≤ bi, i = 1, ..., k,

fi(x) = bi, i = k + 1, ..., m.

Т.е., в этой задаче допустимое множество задается системой, состоящей из k неравенств и (m − k) уравнений:

X = {x Rn : fi(x) ≤ bi, i = 1, ..., k, fi(x) = bi, i = k + 1, ..., m} .

– 7 –

Правило решения конечномерной задачи

сограничениями в виде равенств и неравенств

1.Составить функцию Лагранжа:

m

X

L(x, λ) = λ0f0(x) + λi(fi(x) − bi).

i=1

2. Выписать необходимые условия локального экстремума:

λi ≥ 0, i = 1, ..., k;

λ0 ≥ 0, если находим min, и λ0 ≤ 0 , если находим max .

3.Найти стационарные точки, т.е. допустимые решения пункта 2, для которых не все множители Лагранжа равны 0. При этом удобно отдельно рассмотреть случаи λ0 = 0 и λ0 6= 0. Во втором случае можно положить λ0 равным какой-нибудь константе (положительной в задаче на минимум, отрицательной в задаче на максимум).

4.Определить, какая из найденных стационарных точек является локальным минимумом (locmin) или локальным максимумом (locmax).

5.Выяснить, есть ли глобальные минимум (absmin) и максимум (absmax) в данной задаче.

– 8 –

Замечание 2. Формулировка теоремы о необходимых условиях локального экстремума в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств дана в приложении III.

Образец решения типового варианта

контрольной работы

Вариант 0

Решение задачи 1

f0(x, y, z) = xyz → extr

2xy + yz = 12, 2x − y = 8

Применим теорему о необходимых условиях локального экстремума в задачах с ограничениями в виде равенств (прил. II). Выпишем функцию Лагранжа и условия стационарности:

– 9 –

L0z = λ0xy + λ1y = 0

Проверим условие регулярности, то есть, линейную независимость векторов f10 (x, y, z) и f20 (x, y, z), где f1(x, y, z) = 2xy + yz, f2(x, y, z) = 2x − y. Очевидно, что f10 (x, y, z) = (2y, 2x + z, y) , f20 (x, y, z) = (2, −1, 0). Предположим, что f10 (x, y, z) и f20 (x, y, z) линейно зависимы, т.е. существуют такие, не равные нулю одновременно, константы C1 и C2, что

– 10 –