Методичка Необходимые и достаточные условия локального экстремума

– 23 –

Приложение I:

Теоремы существования экстремумов. Выпуклые задачи.

Теорема 1 (Вейерштрасс). Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве конечномерного пространства (т.е. на компакте) достигает своих абсолютных максимума и минимума.

Важный класс задач условной оптимизации составляют выпуклые задачи.

Определение 3. Непустое множество X Rn называется выпуклым, если αx1 + (1 − α)x2 X при всех x1, x2 X и α [0; 1], т.е. если X вместе с любыми своими двумя точками x1 и x2 содержит соединяющий их отрезок.

Определение 4. Функция f(x), определенная на выпуклом множестве X

Rn, называется выпуклой на X, если

f(αx1 + (1 − α)x2) ≤ αf(x1) + (1 − α)f(x2) α [0; 1] x1, x2 X.

Определение 5. Задача условной оптимизации

f(x) → inf, x X

называется выпуклой, если X−выпуклое множество, f(x)− выпуклая функция на X.

Теорема 2. Если задача выпукла, то любое ее локальное решение является также глобальным.

Таким образом, для выпуклых задач понятия локального и глобального решений не различаются.

Теорема 3. Пусть функция f(x)− выпукла на Rn и дифференцируема в точке x X, X Rn. Если f0(x ) = 0, то x − точка минимума f(x) на

X.

– 24 –

Приложение II:

Метод множителей Лагранжа для задачи

с ограничениями в виде равенств.

функции. Если x локальный экстремум в задаче, то найдется ненулевой

были линейно независимы (условие регулярности).

Теорема 5. (Необходимое условие локального минимума 2-го порядка) Пусть функции f0, f1, . . . , fm дважды дифференцируемы в допустимой точ-

– 25 –

ке x Rn. Пусть f10 (x ), ..., fm0 (x ) линейно независимы. Если x локальный минимум в задаче, то существует набор множителей Лагранжа

λ = (1, λ1, . . . , λm) такой, что L0x(x , λ) = 0 и

(L00x(x , λ)h, h) ≥ 0

для всех h H = {h Rn|(fi0(x ), h) = 0, i = 1, . . . m.} .

Теорема 6. (Достаточное условие локального минимума)

Пусть функции f0, f1, . . . , fm дважды дифференцируемы в допустимой точке x Rn. Если существует набор множителей Лагранжа λ = (1, λ1, . . . , λm) такой, что L0x(x , λ) = 0 и, кроме того, (L00x(x , λ)h, h) > 0 при всех h H = {h Rn|(fi0(x ), h) = 0, i = 1, . . . m.} , h 6= 0, то x локальный минимум задачи.

– 26 –

Приложение III:

Метод множителей Лагранжа для конечномерной задачи

с ограничениями в виде равенств и неравенств

f0(x) → extr,

fi(x) ≤ bi, i = 1, ..., k,

fi(x) = bi, i = k + 1, ..., m.

Определим функцию Лагранжа для рассматриваемой задачи:

m

X

L(x, λ) = λ0f0(x) + λi(fi(x) − bi).

i=1

Теорема 7. (Необходимые условия локального минимума)

Пусть x точка локального минимума в задаче. Пусть функции fi, i = 0, ..., m, непрерывно дифференцируемы. Тогда существует ненулевой на-

– 27 –

Библиографический список

[1]Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.

М. Высшая школа, 1986.

[2]Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М. Наука, 1984.

[3]Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.

М. Изд-во Моск. ун-та, 1989.

[4]Манита Л.А. Метод множителей Лагранжа: Метод. указания к семинарским занятиям по курсу “Методы оптимизации” / Моск. гос. ин-т электроники и математики. М., 2000. 20 с.

Учебное издание

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧАХ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Московский государственный институт электроники и математики. 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер. 3/12.

Отдел оперативной полиграфии Московского государственного института электроники и математики.

113054, ул. М. Пионерская, 12.