1.5Расчет спектральной плотности

В практических расчетах от интеграла (8) переходят к сумме и выборочную спектральную плотность оценивают по формуле:

; . (9)

В пакете MATLAB быстрое одномерное преобразование Фурье реализовано парой функций, выполняющих прямое и обратное БПФ: fft/ifft. Данные функции используются как для действительных, так и для комплексных последовательностей, при этом длина последовательностей может быть произвольной.

Обращение к функциям:

fft(v) – возвращает дискретное преобразование Фурье 2^m-мерного вектора, аргумент которого есть результат дискретизации через равные промежутки времени некоторой функции. Результат работы программы – комплексный вектор размерности 2^m+1. элементы вектора, возвращаемого функцией fft, вычисляются по формуле:

где N – число элементов вектора v;

ifft(v) – обратное дискретное преобразование Фурье, комплексного вектора, содержащего значения ДПФ. Вектор v должен иметь 2^m+1 элементов. Результат работы программы действительный вектор размерности 2^m+1. Элементы вектора, возвращаемого функцией ifft, вычисляются по формуле:

где N – число элементов вектора v. Отметим, что для всех векторов справедливо соотношение ifft(fft(v))=v ;

fft(v,n)- возвращает дискретное преобразование Фурье 2ⁿ – мерного вектора, аргумент которого есть результат дискретизации через равные промежутки времени некоторой функции. Результат работы программы есть комплексный вектор размерности 2ⁿ⁺¹. Если n>length(v) последовательность, хранящаяся в векторе v, дополняется нулями;

ifft(v,n) – обратное дискретное преобразование Фурье, комплексного вектора, содержащего значения ДПФ. Результат работы программы – комплексный вектор размерности 2ⁿ⁺¹. Если n>length(v) последовательность, хранящаяся в векторе v, дополняется нулями.

В качестве примера в приложении А приведён текст М-файла для вычисления спектра функции, являющейся суммой двух периодических функций:

,

где А₁=0.8, f₁ =40 Гц, A₂ =0.4, f₂=90 Гц, заданной набором дискретных значений N=8192 точках на интервале [0,2] с.

2Задания к лабораторной работе

1. Вычислить спектр функции при A=3, f=10 Гц по N=2¹⁰ известным значениям на интервале [0,2] с. Изменился ли вид спектра по сравнению с примером, рассмотренным в приложении А? Влияет ли фаза гармонической составляющей на вид спектра?

2. Вычислите спектр функции

постройте и проанализируйте графики спектральной плотности.

Данные взять из таблицы 1 в соответствии с номером варианта, указанным преподавателем, изобразите его графически и определите фазы соответствующих спектральных гармоник. Значения менять в 5-й, 6-й и 8-й строке M-файла.

Таблица 1- Исходные данные для расчета

№ варианта	Значения для 1-ой синусоиды	Значения для 2-ой синусоиды
1	А=3; f=10; 15	А=0,3; f=10; 5
2	А=2; f=20; 5	А=0,3; f=10; 5
3	А=0,3; f=30; 50	А=0,3; f=20; 5
4	А=0,1; f=40; 10	А=0,3; f=30; 5
5	А=2,5; f=50; 20	А=0,3; f=40; 5
6	А=1,5; f=60; 45	А=0,3; f=50; 5
7	А=1,3; f=70; 40	А=0,3; f=60; 5
8	А=4; f=80; 5	А=0,3; f=70; 5
9	А=0,8; f=90; 10	А=0,3; f=80; 5
10	А=0,4; f=100; 25	А=0,3; f=90; 5
11	А=0,8; f=40; 1	А=0,3; f=100; 5
12	А=0,9; f=20; 7	А=0,3; f=20; 5
13	А=2,1; f=30; 12	А=0,3; f=30; 5
14	А=1,6; f=60; 5	А=0,3; f=60; 5
15	А=1,4; f=80; 20	А=0,3; f=80; 5

3. Рассчитать значения спектральных плотностей для всех трех выборок, с которыми выполнялись предыдущие лабораторные работы. Построить графики спектральных плотностей и проанализировать их.

4. Сделать вывод о характере случайного процесса на основании анализа графиков спектральных плотностей и корреляционных функций, полученных в лабораторной работе № 3.