1.3Связь спектральной плотности и корреляционной функции

Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье:

(3)

(4)

Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой четные вещественные функции, то иногда формулы (3) и (4) представляют в более простом виде

(5)

(6)

Это вытекает из того, что имеют место равенства:

и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (3) и (4), так как слева стоят вещественные функции.

Рисунок 3, на котором показаны графики спектральных плотностей и корреляционных функций некоторых процессов, иллюстрирует тот факт, что чем уже график спектральной плотности, т. е. чем меньше частот представлено в спектральной плотности, тем медленнее изменяется величина х во времени. И наоборот, чем шире график спектральной плотности, т. е. чем большие частот представлено в спектральной плотности, тем сложнее структура функции х(t) и тем быстрее происходят изменения х во времени.

Связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционной функцией и самим процессом. Отсюда вытекает, что более широкому графику спектральной плотности должен соответствовать более узкий график корреляционной функции и наоборот.

Таким образом, корреляционные функции и спектральные плотности в принципе содержат одинаковую информацию, но исторически эти два понятия появились и развивались независимо.

Корреляционные функции использовались в основном математиками и статистиками, тогда как спектральные плотности применялись главным образом в инженерных исследованиях. В некоторых случаях удобнее пользоваться корреляционными функциями, но в инженерных приложениях более широкое применение находят и спектральные плотности.

1.4Свойства спектральной плотности

На рисунке 4 показаны типичные графики спектральной плотности, иллюстрирующие следующие её свойства:

Рисунок 4 – Графики двусторонней S(f) и односторонней G(t) спектральной плотности

Рисунок 3 - Примеры корреляционных и спектральных плотностей часто встречающихся процессов:

1. для синусоиды;

2. для процесса, который является суммой синусоиды и случайных колебаний более высокой частоты;

3. для процесса, который является суммой нескольких близких по частоте гармоник;

4. для процесса, который содержит множество гармоник разной частоты.

1. Из (1) следует, что спектральная плотность S(f) определена для всех частот, как для положительных, так и для отрицательных, и является двухсторонней.

2. Из свойств симметрии корреляционных функций следует, что , т.е. спектральная плотность – функция чётная.

3. Практически удобнее иметь дело со спектрами, определёнными только для неотрицательных частот. Такие спектры обозначаются G_xx, называются односторонними и задаются следующим образом

₍₇₎

4. Т.к. всегда чётные, то спектры задаются только действительной частью преобразования Фурье.

₍₈₎

5. Площадь под графиком спектра, заключённая между двумя произвольными значениями частоты и , равна среднему квадрату (мощности) процесса в этой полосе частот.