1)Пусть функция т – вычислима в обычном смысле.

n = 0, 1, 2 …

ƒ(0), ƒ(1), ƒ(2) …

(0, ƒ(0)), (1, ƒ(1)), (2, ƒ(2)) …

Покажем, как работает перечислительная машина, вычисляющая ту же функцию. Известно, что робота всякой машины Тьюринга есть некоторая совокупность такта. Рассмотрим плоскость с координатами (n;t) и известным эффективным способом занумеруем все ее точки с натуральными координатами. Перебирая эти точки в указанном порядке будем выполнять очередные такты вычисления соответствующего значения n. Всякий раз когда на каком-то такте заканчивается вычисление ƒ(n_k) мы выдаем на выходе пару (n_k, ƒ(n_k)) и пропускаем дальнейшую реализацию для этой процедуры такты для вычислений мы пропускаем такты с бОльшим номером. В результате эта процедура порождает все пары вида (n_k, ƒ(n_k)), для которых функция определена.

2)Пусть, наоборот, функция вычисляется некоторой перечислительной машиной. Укажем процедуру ее вычисления в обычном смысле n→?ƒ(n).

Пример:

n = 5 → ƒ(5)

(0, ƒ(0))

(3, ƒ(3))

…

(5, 31) → 0, то что надо!

Алгоритм такого вычисления прост. Запустим перечислительную машину, и когда она выдаст пару с заданной первой координатой, вторая координата этой пары и есть нужное значение этой функции.

Определение: множество А являющееся частью натурального ряда, называется перечислимым, если оно есть множество значений некоторой вычислимой функции (иными словами, перечислимые множества – это множества, все элементы каждого из которого генерируются некоторым эффективным образом).

Теорема о свойствах замкнутости перечислимых множеств.

Если А и В перечислимы, то перечислимы так же

A U B, A ∩ B, A * B

и если А входящее в N² то перечислимы так же проекции множества А

19

Определение: Множество А, входящее в множество натуральных чисел называется разрешимым, если вычислима его характеристическая функция χ_А.

χ_A(n) = 1, Если n принадлежит А

χ_A(n) = 0, Если n не принадлежит А

Иными словами множество А разрешимо, если существует алгоритм, решающий вопрос о принадлежности произвольного натурального n этого множества.

Пример:

1) любое конечное множество разрешимо {n₁ n₂ … n_k}

2) множество всех четных чисел – разрешимо,

3) множество всех простых чисел (Пч=2, 3, 5, 7,…)

Определение: множество А являющееся частью натурального ряда, называется перечислимым, если оно есть множество значений некоторой вычислимой функции (иными словами, перечислимые множества – это множества, все элементы каждого из которого генерируются некоторым эффективным образом).

Теорема1

Всякое разрешимое множество является перечислимым.

В случае конечного множества, рассмотренного выше: пусть А входит в натуральное множество – разрешимо и бесконечно. Тогда существует n₀, входящее в А. Покажем, что А есть множество значений следуюшего вычисления функции

ƒ(n) = n, если χ_A(n) = 1 (n входит в А)

ƒ(n) = n₀, если χ_A(n) = 0 (n не входит в А)

Характеристическая функция χ_А(n) – вычислима, т.к А разрешима. ЧТД

Теорема2

Множество разрешимо тогда и только тогда, когда перечисломо не только А, но и его дополнения (т.е. Ā).

Доказательство:

1) пусть А – разрешимо. Тогда по теореме о замкнутости Ā разрешимо => Ā перечислимо.

2) Пусть А, Ā перечислимы. Входит ли n в А? Решается так: в силу перечислимость А и Ā существует перечислимая машина, порождающая каждое из этих множеств; запустим обе и будем ждать, которая из них выдаст число n. N непременно появится в одной из этих машин, n не может моявиться из обеих машин т.к. А пересекает Ā в точке 0.

20

Теорма:

Множество A входящее в N перечислимо, т.е. существует вычислимая функция n т.ч. А = D_ƒ {А – область определения} некоторой вычислимой функции.

Докажем лишь, что область определения функции ƒ перечислима, если ƒ – вычислимо.

Т.к. функция ƒ вычислима, то для неё существует перечислительная машина Тьринга. Перестроим эту машину так, что когда исходная машина порождает k-ю по счёту пару (n_k, ƒ(n_k)), новая машина выдаёт пару (k, n_k).

Функция n_k = φ(k) – вычисляется нашей новой перечислительной машиной и потому сама является вычислимой. В тоже время, множество её значений есть область определения данной функции ƒ. Значит эта область определения – перечислимое множество.

ЧТД

Лемма 1:

Существует перечислимое неразрешимое множество.

Док-во: D_Ф(n,x)- перечислимо, как область определения вычислимой функции.

Неразрешимость этого множества фактически содержится в следствии 3 теоремы о существовании вычислимой универсальной функции.

Следствие 3

Не существует алгоритма, выясняющего по произвольной паре (n,x) определено ли Ф(n,x) в этой точке.

Док-во: Предположим, что такой алгоритм χ существует.

χ(n,x) = {1, если Ф(n,x) опр.

{0, если Ф(n,x) не опр

Тогда, можно определить вычислимую ф-ию

Ψ(n,x)={ Ф(n,x), если χ(n,x)=1

{ 0, если χ(n,x)=0

Ф-ия Ψ всюду определена, вычислима и продолжает ф-ию Ф. Но такого продолжения не сущ и значит желаемого алгоритма χ не сущ.

21

Теорема Райса

Не существует разрешимых нетривиальных классов.

Док-во

Пусть  - перечислимое неразрешимое множество и пусть КВ⁽¹⁾ – некоторый нетривиальный класс перечислимых функций. Докажем, что К не является разрешимым. Док-во проведем от противного. Пусть _к(n) = {1, (n,x)K ; 0, (n,x)K – вычислима.

Класс К- нетривиален.   К  В⁽¹⁾

Пусть (x) – нигде не определенная (вычислимая) функция. Возможно  или . Оба случая рассматриваются аналогично. Пусть . Т.к. класс К не пуст существует вычислимая функция  которая входит в К и которая продолжает функцию . Построим согласно лемме 2 функцию (n,x) = {(x) (нигде не опред.), n ; (x), n

(n₀,x) = _n0(x)

Если для (n,x) фиксировать значение n₀ первого то всякий раз получ. _n0(x) ост. перем. х. Покажем, что существует алгоритм, выдающий по номеру n₀ одну из программ вычисления значений _n0(x): Достаточно для этого, расположить на ленте машины Тьюринга запись числа х, отступить на 1 клетку влево, записать влево от нее число n₀ и запустить программу вычисления (n,x).

Пусть (n₀) – номер описанной программы. Тогда (n,x) = ((n),x). Наличие упомянутых алгоритмов позволяет построить разрешающую процедуру для неразрешимого по условию множества .

n₀  (n₀,x) = (x)  (n₀,x)K  ((n₀),x)K  _к((n₀))=1

Вычисляя значения всюду определенной и вычислимой функции _к((n)) мы можем алгоритмически решать вопрос о принадлежности произвольного натурального n неразрешимому по условию множеству . Полученное противоречие заставляет отказаться от предположения о вычислимости функции _к(n). Ч.т.д.

Лемма 1:

Существует перечислимое неразрешимое множество.

Док-во: D_Ф(n,x)- перечислимо, как область определения вычислимой функции.

Неразрешимость этого множества фактически содержится в следствии 3 теоремы о существовании вычислимой универсальной функции.

Замечание: Ранее понятие перечислимого множества определялось для подмножеств натурального ряда. Для множеств пар натуральных чисел (т.е. подмножеств N²) это понятие можно ввести так: устанавливается взаимноодназначное и вычислимое соответствие между множествами N и N² и подмножество N² объявляется перечислимым, если оно соответствует перечислимому множеству натуральных чисел. Все привычные свойства перечислимых множеств сохраняются.

Лемма 2:

Пусть  - некоторое перечислимое множество, а вычислимые функции  и  таковы, что  является продолжением для . Тогда функция  (n,x) = {(x), n ; (x), n является вычислимой.

Док-во: Укажем алгоритм вычисления значений функции (n,x): для произвольной пары (n,x) запустим программу вычисления функции (x), параллельно порождая элементы перечислимого множества ; Если в некоторый момент обнаружится, что n, а (x) еще не вычислено, то, остановив программу , запустим программу вычисления (x).

Замечание: В этой лемме требуется лишь, чтобы  было перечислимо (Разрешимость  не требуется).

22

Исчисления высказываний являются простейшими среди так наз. формальных исчислений, имеющих реальные значения.

Формальные исчисления служат современной формой построения теорий аксиоматического типа. (Суть аксеомотического метода в том, что при построении какой-либо теории некоторые ее положения принимаются за аксеомы.)

Формальное исчисление задается своим:

1) языком

2) аксиомой

3) правилами вывода

Формальные исчисления используются для построения в них формальных выводов. Формальным выводом в данном исчислении Ф₁,Ф₂,…,Ф_n наз. всякую конечную последовательность его формул, в которых всякая формула либо явл. аксиомой этого исчисления, либо получается из некоего числа предшествующих ей формул. Вывод Ф₁,Ф₂,…,Ф_n считается выводом последней формулы Ф_n. Формула Ф называется выводимой в исчислении если для нее сущ. формальный вывод.

Замечание: Понятие формального вывода формолиз. понятие док-ва применительно к формальным исчислениям.

Пример:

1) Алфавит: А_с={a}

Выражения = формулы = W_Ac – все слова в алфавите

ааааа, 

2) Аксиомы: А₁.  аксиома – пустое слово

3) Правила вывода: r(Ф) = Ф_аа

Примеры выводов:

1. , аа, аааа - вывод

Ф₁ r(Ф₁)=Ф₂ r(Ф₂)=Ф₃

2. , аа, , аааа - вывод

3. , , ,  - вывод

4. , аааа, аааааа - не вывод

не выводится из предыдущих

23

ИВ являются простейшими среди так наз. формальных исчислений, имеющих реальные значения.

Алфавит ИВ бесконечен:

А_ИВ={А₁,А₂,А₃,…,,,,,(,)}

Выражениями ИВ служат только формулы:

1. Всякое определение есть формула (атóмная)

2. Ф₁,Ф₂ – формулы  (Ф₁Ф₂), (Ф₁Ф₂), (Ф₁Ф₂), Ф₁ – формулы

3. Никаких иных формул нет!

Аксиомы:

1. А  (В  А)

2. (А  (В  С))  ((А  В)  (А  С))

3. (А  В)  А

4. (А  В)  В

5. (А  В)  ((А  С)  (А  (В  С)))

6. А  (А  В)

7. В  (А  В)

8. (А  С)  ((В  С)  ((А  В)  С))

9. А   А

10.  А  А

11. (А  В)  ( В   А)

Правила вывода:

1. Правило подстановки можно определить на множестве слов. Пусть Ф некоторое слово, А – буква (переменная) и  так же слово; результатом подстановки формулы  вместо А в слово Ф наз. результат замены каждого из вхождений переменной А в слово Ф на слово (формулу) .

S^A_ Ф

Под результатом подстановки подразумевается слово.

Например:

S^A_(AB) (A  (B  A)) = ((A  B)  (B  (A  B)))

Правило r₁(Ф) = S^A_ Ф

2. Правило заключения (Modus Ponens)

r₂(Ф,Ф) = 

Правило r₂ является не всюду определенным. Оно применимо лишь к парам формул соответствующим образом согласованных.

Вывод А  А в ИВ

1. А  (В  А) (акс. 1)

2. (А  (В  С))  ((А  В)  (А  С)) (акс. 2)

3. Заменим в аксиоме 2 С на А (r₁(Ф₂))

(А  (В  А))  ((А  В)  (А  А))

4. (A  B)  (A  A) (r₂(Ф₁,Ф₃))

5. В заменяем на (В  А) (r₁(Ф₄))

(A  (B  A))  (A  A)

6. A  A (r₂(Ф₁,Ф₅))

24

Пусть Ф₁,…,Ф_к – некоторые формулы ИВ. Выводом из гипотез Ф₁,…,Ф_к наз. всякую конечную последовательность ₁, ₂,…, _n формул ИВ, всякая формула которой:

1) Либо является одной из гипотез

2) Либо является выводимой формулой ИВ

3) Либо получается из каких-либо двух предшествующих формул с помощью правила исключений.

Если множество гипотез пусто, то ввиду отличия данного определения от определения обычного формального вывода оказывается что выводимость формулы в исчислении высказываний (в отсутствии каких-либо гипотез) и выводимость формулы из пустого множества гипотез определяется по-разному. Выводимыми в обоих случаях оказываются одни и те же формулы.

Если формула  выводима из гипотез Ф₁,…,Ф_к мы пишем Ф₁,…,Ф_к ├ .

Пример вывода из гипотез:

А, В, А → (В → С) ├ С

1. А (гипотеза)

2. А → (В → С) (гипотеза)

3. В → С (mod. pon. к ₁, ₂)

4. В

5. С (mod. pon. к ₃, ₄)

Теорема дедукции.

Если формула  выводима из гипотез Ф₁,…,Ф_к-1,Ф_к, то из гипотез Ф₁,…,Ф_к-1,Ф_к ├ (Ф_к→). Иными словами (Ф₁,…Ф_к-1,Ф_к→) <=> (Ф₁,…,Ф_к-1,Ф_к ├ (Ф_к→)).

Применение:

Можно несколько гипотез пользуясь теоремой дедукции перекинуть через знак выводимости.

Ф₁,…,Ф_к→

Ф₁,…,Ф_к-2 ├ Ф_к-1 → (Ф_к→)

…

├ Ф₁ → (Ф₂ → … → (Ф_к→))

Последнее соотношение позволяет с помощью Теоремы дедукции устанавливать выводимость без гипотез некоторых формул в исчислении высказываний.

Пример.

Докажем, что ├ (А → (В → С)) → (В → (А → С))

Сначала покажем что из А → (В → С), А, В→С выводимы.

Применим Теорему дедукции.

А → (В → С), В├ А → С

А → (В → С)├ В → (А → С)

├ (А → (В → С)) → (В → (А → С))

Применение Теоремы дедукции не дает вывода для соответствующей формулы. Этот вывод можно построить если к выводу формулы С из наших гипотез применить рассуждения содержащиеся в доказательстве Теоремы дедукции.

25

Формула выводима в ИВ, тогда и только тогда, когда задаваемая ею булева функция является тавтологией, т.е. является тождественно истинной.

(├_ИВ Ф) => Ф ≡ 1

Докажем, что если формула выводима, то она тождественно равна 1.

Док-во проходит индукцией по длине выводов.

1) n=1 Ф – вывод (аксиома)

Тавтологичность аксиом проверяется непосредственно.

2) n → n+1

Предположим, что для всех формул имеющих вывод длина которого не превосходит n утверждение доказано.

Пусть формула Ф имеет вывод длиною n+1.

Ф₁,…,Ф_n,Ф_n+1 (Ф_n+1 = Ф)

_вывод

Если Ф_n+1 является аксиомой она тавтологична. В противном случае она получается из предыдущих с помощью либо подстановки, либо по правилу modus ponens.

Ф_n+1 = S^A_ Ф_к, к  n

Ф_к имеет более короткий вывод и потому является тавтологией.

Ф_к (…,А,…) => Ф_к (…,,…)

Но формула  на любом наборе значений своих аргументов принимает значение 0 или 1, а любое из этих значений вместе со значениями для остальных аргументов формулы Ф_к обращают эту формулу в 1. Значит и формула Ф_n+1 является тавтологией.

Предположим теперь, что формула Ф_n+1 получена с помощью modus ponens из двух предыдущих ей, тавтологичность которых следует из предположения индукции. Эти формулы имеют вид Ф_i, Ф_j = Ф_i → Ф_n+1

Предположим, что Ф_n+1  1. Значит на подход. наборе значений ее аргумента имеем Ф_n+1 (₁,…,_к) = 0

Дополняя набор этих значений значениями переменных которые входят в Ф_i но не в Ф_n+1 получим (Ф_i → Ф_n+1) (₁,…,_к,…) = Ф_i (₁,…,_к,…) → Ф_n+1 (₁,…,_к) = 0,

_{тавтология 1 0}

а это противоречит тавтологичности формулы Ф_j. Тем самым тавтологичность всех выводимых формул доказана.

Критерий выводимости позволяет для произвольной формулы ИВ решать вопрос о ее выводимости. Для этого достаточно проверить тавтологична ли данная формула.

1) Ф = А  А

Значит формула выводима

тавтология

2) Ф = А  В

Значит формула не выводима

не тавтология

26

Произвольное формальное исчисление наз. разрешимым если существует алгоритм по любой формуле этого исчисления решающий вопрос, выводима ли она в нем.

Следствие 1. ИВ разрешимо. Соответствующий алгоритм основан на проверке тавтологичности. Рассмотрим вопрос о непротиворечивости ИВ. Определение непротиворечивого произвольного формального исчисления можно формулировать по-разному.

Непротиворечивость 1: Произвольное исчисление С наз. 1-непротиворечивым если в нем выводимы не все формулы.

Непротиворечивость 2: Пусть алфавит исчисления содержит символ отрицания.   А_с. Такое исчисление наз. 2-непротиворечивым, если ни для какой формулы Ф этого исчисления не возможно

├ Ф

├ Ф

Следствие 2. ИВ непротиворечиво в обоих смыслах. Из 2-непротиворечивости вытекает 1-непротиворечивость. Поэтому докажем, что ИВ 2-непротиворечиво.

Док-во:

Пусть Ф выводимо в ИВ. Тогда Ф  1 – тавтология

(Ф)  0

(Ф)  1

Ф не выводима в ИВ

Критерий выводимости позволяет для произвольной формулы ИВ решать вопрос о ее выводимости. Для этого достаточно проверить тавтологична ли данная формула.

1) Ф = А  А А А  А

Значит формула выводима 0 1

1 1

тавтология

2) Ф = А  В А В АВ

Значит формула не выводима 0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

не тавтология

30

т.Дедукции:

Если ф-ла Ψ выводима из гипотез Φ₁… Φ_k-1,Φ_k

то из гипотез Φ_k-1,Φ_k выводима (Φ_k-> Ψ)

т.е (Φ₁… Φ_k-1,Φ_k ├ Ψ )=>( Φ₁… Φ_k-1├(Φ_k-> Ψ)) (чит. в обе стор.)

док-во:

переработка вывода ф-лы Ψ из гипотез (Φ₁… Φ_k-1) в вывод ф-лы Φ_k-> Ψ

из гипотез Φ₁… Φ_k-1 .

проводится индукция по длине вывода ф-лы Ψ из гипотез Φ₁… Φ_k.

Пусть Φ₁…Φ_k ├ Ψ -вывод ф-лы Ψ из гипотез (Φ₁…Φ_k)

1 k=1:

В этом случаи ф-ла Ψ либо является одной из гип. либо выводима из ИВ.

1) Ψ – гипотеза.

а) Ψ= Φ_k : Φ_k -> Ψ выводимость которой из уменьшенного м-ва гипотез нужно док-ть. принимает вид Φ_k -> Φ_k (Ψ ->Ψ) но эта ф-ла выводима в ИВ. по этому (Φ_k -> Φ_k)служит выводом ф-лы из гипотез Φ₁…Φ_k-1

б) Ψ= Φ_i,i<=k-1 вывод из гипотез Φ₁…Φ_k-1 имеет вид:1. Φ_i (гипот)

2. Φ_i -> (Φ_k-> Φ_i)(выводима в ИВ)

3. Φ_k-> Φ_i

2) Ψ – выводима в ИВ. вывод ф-лы Φ_k-> Ψ из гипотез Φ₁… Φ_k-1 имеет вид:

1. Ψ (├Ψ)

2. Ψ -> (Φ_k-> Ψ) ├ в ИВ

3. Φ_k-> Ψ (т.р)

2 предположим что теорема верна для всех ф-л Ψ вывод которых из гипотез Φ₁… Φ_k

имеет длину не больше n и док-ем для ф-л с длин n+1 наше утвержд.

Пусть Ψ ₁… Ψ _n, Ψ _n+1 – вывод ф-лы Ψ из гипотез Φ₁…Φ_k Построение вывода ф-лы Φ_k-> Ψ

Из гипотез Φ₁… Φ_k-1, меняется в завис. от прчин . оправдывающих появление ф-лы Ψ на n+1 месте в этом выводе.

Если ф-ла Ψ – гипот. или выводима в ИВ то для ф-лы Φ_k-> Ψ вывод из гипотез Φ₁… Φ_k-1

Строится также как и в случаи 1 (т.е. для выводов длины 1)

Пусть ф-ла Ψ получ с помощ правила заключ из каких-либо ф-л Ψ₁… Ψ_j расположенных в данном выводе перед ф-ой Ψ_к+1 это означает , что: 1 Ψ_j = Ψ_i-> Ψ

2 i,j <= n – означает что ф-лы Ψ_j и Ψ_i обладают выводимостью из гипотез Φ₁… Φ_n длины которых i,j не превосходят n => для этих ф-л справедливо предположение индукции т.е. мы располагаем выводами ф-л Φ_k-> Ψ_i

Φ_k-> Ψ_j из гипотез Φ₁… Φ_k-1

Построим такой вывод для ф-лы Φ_k-> Ψ :

1 χ₁ вывод ф-л Φ_k-> Ψ_i

. из Φ₁… Φ_k-1

.

N Φ_k-> Ψ_i

N+1 χ_N+1 вывод посл. ф-лы Φ_k-> Ψ_i

. из Φ₁… Φ_k-

.

N+M χ_N+M

Φ_k-> Ψ_i = Φ_k->( Ψ_i-> Ψ)

N+M+1 Φ_k->( Ψ_i-> Ψ) ├ ((Φ_k-> Ψ_i) ->( Ψ_к-> Ψ))

├ ИВ (н2)

N+M+2 (Φ_k-> Ψ_i) ->( Ψ_к-> Ψ) (т.р N+M;N+M+1)

Φ_k-> Ψ (т.р N;N+M+2) ЧТД.

31

Алгоритм распознавания вывода.

Нужно проверять послед. Φ₁,Φ_2... и смотреть законно ли появление в рассматриваемой послед каждого послед выск. Рассмотри ф-лу Φ_k+1является ли Φ_k+1аксиомой непосредсвенно.Φ_k+1 получается с помощью правила заключ. Если среди Φ₁… Φ_n есть Φ_i, Φ_i-> Φ_k+1Несмотря на то что всевозможных подстановок имеется бесконеч. Мн-во за счёт различных АиΨ достаточно решать вопрос о появлении Φ_k+1с помощью правила подстановки ограничится лишь теми для которых перемен. А входит в одну из ф-л Φ₁… Φ_n все переменные ф-лы Φвходят в ф-лу Φ_k+1и при етом ф-ла Ψ достаточно коротка чтобы рез-т подстановки оказался длинней ф-ла Φ_k+1Но таких пар АиΨ имеется лишь конечное кол-во и соотв проверить можно существование.

Пример:

A->(B->A)

A->(BuA)

A->(C->( BuA))

s^A s^b

Ψ=A,B,C | Ψ |<=2

33

Алгоритм построения макс. потока Форда-Фолкерсона.

Здесь рассм-ся задача о доставке макс. кол-ва той или иной субстанции из одн. дан. пункта в др. использ-ем имеющейся сист. путей, различные участки котор. облад. разл-ми пропускными способн-ми. Транспорнтой сетью назыв-т ориент. граф, ребрами котор. приписыв-т веса, а среди верш. котор. выделены 2 : S, F, называемые полюсами этой сети, причем из нач-го полюса S leub только выходят, а в верш. F только вход-т.

Потоки в дан. сети наз-ся всякая система чисел { a_ij}, приписанных соотв-м дугам и удовл-ю 2-м требованиям: 1) a_ij - то кол-во продукта , перевозимое из верш. A.

0≤ a_ij ≤ c_ij

2) для любого i - ∑_k a_ki =∑_j a_ij

Все, что поступает на станцию i , все из этой же верш. и выходит. Величиной данного потока a_ij назыв-т сумму ∑_i a_si , т.е. сумму потоков во всех дугах, исх-х из полюса S.

Ввиду наличия зак-в сохр-ядля всех узлов сети, кроме полюсов очевидно ∑_i a_si = ∑_ja_jf

Максимпальным назыв-т поток, имеющ. макс-ю величину ∑_i a_si ≤ ∑_i с_si ≤∑_jc_jf

Здесь рассм-ся только целочисленные потоки, т.е. потоки, для которых все a_ij - целые числа.

Алгоритм Форда – Фолкерсона:

Алг-м носит пошаговый характер, причем на кажд. шаге, верш-м сети присваив-ся новая система меток. На кажд. шаге строится нов. поток. Поток получ-ся по итогам шага № t,

обознач-ся { a_ij^(t)}.

Шаг 0: за { a_ij⁽⁰⁾} приним-ся любой поток в дан. сети. Например, можно принять a_ij⁽⁰⁾ =0 для всех i и j.

Шаг № t+1 : мы уже имеем поток{ a_ij^(t)} и пытаемся его увеличить. Для этого присв-ем метку начальному полюсу и пытаемся на осн-и формулир-х ниже правил доставить эту метку в конечный полюс. Правилы переноса метки :

1) Метка из вершины i по дуге ij м.б. доставлена в верш. j, если { a_ij^(t)}< c_ij , т.е. если поток в этой дуге не достиг еще пропускной способности.

2) Пусть помечена верш. i . Эту метку м. распр-ть по дуге (i,j), если a_ij^(t) >0.

Помечаем в соотв-и с этими правилами все верш. сети, для котор. это возм-но, в результ. возможна одна из 2-х ситуаций :

1) Вых-й полюс F остается непомеченным. Это означает, что поток a_ij^(t) уже макс-й и работа алг-ма законч.

2) если верш. F приобрет-т метку, то поток a_ij^(t) можно увеличить: метка из нач. полюса доставл-ся в F по некотор. "неориентир-му пути".

При этом, для сонаправл-х дуг этого пути имеем

δ^(t+1) =min { c_ij -a_ij^(t) , a_ij^(t)}>0

c_ij -a_ij^(t) – для сонапр-х дуг пути

a_ij^(t) – для противонаправл-х.

Полагаем, что a_ij^(t+1) =

а) a_ij^(t) + δ^(t+1) – для сонапр-х.

б) a_ij^(t) - δ^(t+1) – для противонапр.

в) a_ij^(t) – для всех остальлных.

Величина потока a_ij^(t+1) превыш-т вел-ну a_ij^(t) на δ^(t+1).

Покажем, что сист. чисел {a_ij^(t+1)} явл-ся потоком, т.е. удовлетв-т 1-му и 2-му усл-ям определ-я потока.

0≤ a_ij^(t+1)≤ c_ij

δ^(t+1) ≤ c_ij - a_ij^(t)

Что касается зак-в сохр-я, то нужно рассм-ть лишь те верш. сети, котор. лежат на наименьшем неориент-м пути. Эти вершины распад-ся на 4 группы :

Для узлов всех 4-х типов сохр-е зак-в сохр-я провер-ся соотв-но.

34.

Теорема Эйлера о наличии эйлеровых циклов переноситься и на ориентированные графы:

Назовем входной степенью di(a) вершины a ориентированного графа число дуг входящих в эту вершину. А выходной степенью do(a) – число дуг из этой вершины исходящих.

Теорема Эйлера для ориентированного графа: Сильно связанный ориентированный граф является эйлеровым если для любого a, di(a) = do(a)

Докажем теорему для неориентированных графов:

Теоремы Эйлера говорят о существовании эйлерового цикла, но не указывают способ его построения.

Надо, попадая в любую вершину стремиться (пока это возможно) выйти из неё по такому ребру, чтобы удаление входного и выходного ребер не нарушало связность грфа.

32

Теорема Форда– Фолкерсона:

Величина макс. потока во всякой сети равна пропускной способности минимального разреза в этой сети.

Док-во: возьмем сеть S-F и будем строить потоки все возраст-щей велич. в соотв-и с алг-мом Ф-Ф. Поскольку рассм-ся только целочисл-е потоки, а на кажд. шаге вел потока возраст-т хотя бы на 1, через неск. шагов раб. алг-ма прекратится. Это произойдет тогда, когда в сети построен поток { a_ij^(t)}, не допуск-щий переноса метки от S к F. Исходя из этого потока, пометим всевершины сети, для котор. это возможно.

Примем за x_s - множ-во всех непомеч-х вершин (Fe x_f ). Покажем, что пропуск. способн. этого разреза равна вел-не |{ a_ij^(t)}|. Действит-но, если некотор дуга имеет начало в x_s , а конец в x_f , то , покольку перенос метки от нач. дуги к концу невозможен, заключаем, что для этой дуги вып-ся равенство a_ij^(t) = c_ij

Но для всякой дуги, ведущей из x_f в x_s перенос метки невозможен от конца к началу. И значит , для такой дуги a_ij^(t) = 0, поэтому велич. потока через линию построенного нами разреза равна пропускной способн-ти этого разреза, а отсюда, след-т, что имеющийся потокмаксимален, а построенный разрез минимален.

35.

Последовательности де Брейна

Теорема Эйлера может быть использована для построения так называемых послед-тей де Брейна.

Пусть фиксирован некоторый алфавит {a₁…a_k} и n€N

Рассмотрим два слова длины n в данном алфавите. (таких слов kⁿ)

Если все слова сложить, то получиться слово длиной n*kⁿ

Последовательность де Брейна для данных n и k назовем слово длины k+n-1, которое содержит все слова длины n в качестве своих подслов.

Док-во сущ. послед-тей де Брейна для любых n и k. Построим ориентированные графы спец вида.

Пусть P₁…Pkⁿ все слова длины n; Q₁…Qkⁿ все слова длины n-1;

Этот граф будет иметь k^n-1 вершин, называемые словами Q₁…Qk^n-1 и kⁿ дуг, которым будут приписаны слова P₁…Pkⁿ

ai₁a_i2...a_in-1a_in – некоторое слово длины n

соответ. дуга начинается в вершине ai₁...a_in-1 и заканчивается a_i2...a_in

Построим этот граф на примере алф {0,1} k=2, n=2

Построенный граф удв условиям теоремы Эйлера; для любого a, di(a) = do(a)=k

Произвольный эйлеров цикл и задает посл-ть де Брйна для соотв k и n

1000101110 (100 – 1 дуга; 000 – 2; 001 -3 и тд)

38

Алг. построения кратчайших путей. В процессе работы этого алгоритма используется система меток, приписываемых к вершинам графов. Метками могут служить действительные числа и бесконечность, которая считается больше любого действительного числа. Метки бывают постоянные и переменные. В рез-тате каждого шага одна из вершин имевших переменные метки приобретает постоянную. Кроме того, по окончании каждого шага, назначается вершина-лидер , в окрестности которой происходят перестройки на следующем шаге.

0-й шаг

(метку i-той вершины, приобретённую ей на шаге с номером t будем обозначать _i^(t) )

Полагая ₀⁽⁰⁾ i0 => _i⁽⁰⁾ = )

X₀ – Лидер

t + 1шаг:

Пусть X_i – лидер для этого шага. Её окрестносью назовём совокупность всех вершин смежных с X_i , т.е. соед с вершиной X_i ребром.

Для каждой вершины X_i, входящей в окрестность вершины X_i, полагаем _j = min{_j^(t), _i^(t) + L_ij}, L_ij – длина ребра (i,j)

Для остальных вершин полагаем _k^(t+1) = _k^(t)

Среди всех вершин имеющих переменные метки выбираем ту, которой соотв наименьшая переменная метка. Эта метка объявляется постоянной, и эта вершина называется лидером следующего шага.

Работа алгоритма заканчивается когда вершина X_n приобретает постоянную метку. Эта её постоянная метка есть длинна кратчайшего пути от X₀ до X_n Сам кратчайший путь восстанавливатся по последовательности постоянных меток, соединяющих вершины X₀ и X_n

36.

Плоский и планарный графы

Назовем граф плоским, если он изображен на плоскости так, что тока пересечения ребер явл. лишь соотв. вершинами.

Произвольный граф называется планарным, если он изоморфен некоторому графу (иными словами, он допускает «хорошее» изображение на плоскости.)

Вопрос о планарности графов связан с т.н. теоремой Эйлера о (выпуклых) многогранниках

Многогранник наз. выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из своих граней.

Теорема Эйлера

Если В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней произвольного, выпуклого многоугольника, то Г-Р+И=2

В=4; Р=6; Г=4;

Всякий выпуклый многоугольник явл. планарным.

Док-во: Достаточно доказать ф-лу Эйлера для любого связного, плоского графа.

Сделаем это индукцией по числу ребер.

1)n=0 И=1;Р=0;Г=1; Г-Р+В=2

2)n -> n+1 Присоединение нового ребря с сохранение связности может происходить двумя способами

а) новое ребро имеет одну общую вершину со старым графом

б) новое ребро соединяет две старые вершины

Посмотрим, как в этих случаях меняются величины Г Р В:

а) В→В+1; Р→Р+1; Г→Г;

б) В→В; Р→Р+1; Г→Г+1;

В обоих случаях сохраняется фор-ла Эйлера

Теорема Понтрягина – Куратовского.

Граф не явл планарным в точности тогда, когда он содержит подграф, гомеоморфный К₅ или К_3,3

Графы наз гомеоморфными, если каждый из них получается из другого путём применения конечного числа изламывания и стремления. Граф гомеоморфный планарному сам является планарным. Если к некоторому непланарному графу присоединить любое кол-во вершин и рёбер, то новый, более сложный граф также не будет планарным. Справедливо и обратное утверждение. Эти факты объединяет теорема П-К.

37

Деревом назыв всякий связанный граф без циклов. Всякое дерево с n вершинами содержит n-1 рёбер.

Рстовом связ графа называют всякий его подграф, содержащий те же вершины, что и данный граф и явл деревом.

Остов всякого графа даёт возможность связать любые 2 его вершины без дублирования таких связей (отсутствия циклов). Пусть данный граф явл взвешенным. (Обычно рассматривают графы, рёбрам которых приписаны неотриц величины, называемые весами. Веса могут интерпретиров как длины соотв. Рёбер, стоимости транспортировки по ним, пропускные способности и т.д. Графы такого типа называют взвешенными).

Длиной его произвольного остова называют сумму длин его рёбер. Кротчайшим явл остов мин длины.

Алгоритм построения кротчайшего остова

Упорядочим все рёбра данного графа в порядке возрастания их длин.

1)В кратчайший остов включаем ребро L1. Если в строящийся остов уже включено k рёбер и k < n-1, где n – число вершин данного графа, то в качестве k+1 ребра присоединяется ребро наименьшего веса, включение которого в строящийся остов не приводит к образованию цикла.

В тот момент, когда будет отображено n-1 ребро, построение остова закончено

1)1; 2)1,2; 3)1,2,4; 4)1,2,4,7

n=5; n-1=4

Следует иметь в виду, что на промежуточных этапах могут получаться не связные подграфы.

7