Тема 2 - Сведения из теории вероятностей и математической статистики

План лекции:

1. Понятие случайной величины

2. Генеральная совокупность, выборка, характеристики

3. Корреляция и ковариация.

2.1Понятие случайной величины

Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, какое именно заранее неизвестно.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она принимает одно из значений х₁, х₂, … , х_n, … с соответствующей вероятностью р₁, р₂, … , р_n,

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любое значение из некоторого промежутка.

Например, число студентов на лекции – дискретная случайная величина, продолжительность лекции – непрерывная.

Соответствие между возможными значениями х_k случайной величины Х и их вероятностями р_k называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины Х.

Закон распределения обычно задается таблицей:

Возможные значения случайной величины Х	х1	х2	…	хn
Вероятности этих значений Р	р1	р2	…	рn

То, что случайная величина Х принимает одно из значений х₁, х₂, … , х_n, есть достоверное событие и поэтому должно выполняться равенство (в случае бесконечной последовательности значений ).

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

.

Для бесконечной случайной величины: .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) M[C]=C, где С=const.

2) M[CX]=C·M[X].

3) Для независимых случайных величин Х и У М[XY]= M[X] · M[Y].

4) Для любых случайных величин Х и У М[X+Y]= M[X] + M[Y].

Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания:

.

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D[X]= M[X²] – (M[X])².

Дисперсия обладает следующими свойствами.

1) D[C]=0, где С=const.

2) D[CX]=C²·D[X].

3) Для независимых случайных величин Х и У D[X+Y]= D[X] + D[Y].

В частности, из свойств дисперсии следует, что

D[С+Х]= D[X]

D[X - Y]= D[X] + D[Y].

Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

2. Генеральная совокупность, выборка, характеристики

Совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов, называется генеральной совокупностью.

Выборочной ковариацией двух переменных x, y называется средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних, т.е.

,

где - выборочные средние переменных x, y. Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.

2. Корреляция и ковариация

Более точной мерой зависимости между величинами является коэффициент корреляции. Различают выборочный и теоретический коэффициенты корреляции.

Выборочный коэффициент корреляции определяется выражением

-1 r 1, (2.1)

он является безмерной величиной и показывает степень линейной связи двух переменных. Выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной. Теоретический коэффициент корреляции определяется выражением

, (2.2)

где _X, _Y – средние квадратичные отклонения случайных величин X,Y. Теоретический коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи двух случайных величин:

  0 при положительной связи и  = 1 при строгой положительной линейной связи;

  0 при отрицательной связи и  = -1 при строгой отрицательной линейной связи;

 = 0 при отсутствии линейной связи.

В качестве критерия проверки гипотезы H₀:  = 0 принимается случайная величина

Список рекомендуемой литературы: /1, 2, 5, 7, 8, 9/