12. Ограниченный и неограниченный операторы минимизации. Определения и примеры общерекурсивных и частично рекурсивных функций.

Оператор минимизации.

В теории рекурсивных функций важную роль играет действие нахождения данной функции φ(z) значения z, которая является наименьшим корнем уравнения φ(z)=0. Выполняющий это действие оператор является оператором минимизации или µ - оператор. Существует несколько разновидностей.

Сначала рассмотрим ограниченный µ-оператор.

Ограниченный µ-оператор равен наименьшему значению y, удовлетворяющему условию

Замечание : Ограниченный µ-оператор по данной n-местной функции f строит новую функцию, значение которой равно наименьшему y, удовлетворяющему условию (1) . Следствия описания оператора необходимо дополнить еще 1 условием. Пример ф-я

Неограниченный оператор минимизации

Переход f к g называется неограниченным µ-оператором минимизации и обозначается :

g( … )= [f( … ,y)=b]

Частично рекурсивные функции. Определение

Функция называется частично рекурсивной если она базовая или может быть получена исходя из базовой функции, конечным числом применения операторов суперпозиции примитивной рекурсии и неограниченного оператора минимизации.

Замечание:

1. Из определений ПРФ и ЧРФ следует что множество ПРФ содержится в множестве ЧРФ.

ПРФ ЧРФ

2. Ограничения y≤z в ограниченном µ- операторе даёт гарантию окончания вычислений, поскольку оно ограничивает сверху число вычислений корня уравнения :

f(x1, …,xn-1, y) = 0

Такое ограничения является существенной особенностью примитивно рекурсивных функций, а не ограниченный рекурсивный µ оператор такими свойствами не обладает, а потому не является примитивно – рекурсивной

Всюду определённая ЧРФ называется общерекурсивной

ОРФ ЧРФ

Из этих двух возникает гипотеза:

П РФ ЧРФ

ОРФ ЧРФ ПРФ=ЧРФ-?

По аналогии с тем что (x) является ЧРФ, но не является ПРФ. Есть ОРФ-ии которые не являются ПРФ-ми.

Первый пример такой функции (всюду определяемая и вычислимая) придумал немецкий математик Аккерман.

13. Определение и способы задания машины Тьюринга.

Основная идея: имитация алгоритмических процессов с помощью абстрактной математической машины(т.е. машины Тьюринга). Эта машина за конечное число шагов из исходных числовых данных в соответствии с заданными правилами может получить искомый числовой результат. Такая модель была предложена А.М. Тьюрингом в 1936 году.

Машина Тьюринга включает в себя:

1. Внешний алфавит - конечное множество символов . В этом алфавите в виде слова кодируется та информация, которая подается в машину. Машина перерабатывает информацию, поданную в виде слова, в новое слово. Обычно символ Внешний алфавит - конечное множество символов обозначает пробел.

2. Внутренний алфавит - конечное множество символов . Для любой машины число состояний фиксировано. Два состояния имеют особое назначение - начальное состояние машины, - заключительное состояние (стоп-состояние).

3. Бесконечная лента Бесконечная лента характеризует память машины. Она разбита на клеточки. В каждую клеточку может быть записан только один символ из внешнего алфавита.

4. Управляющая головка. Управляющая головка (УГ) передвигается вдоль ленты и может останавливаться напротив какой-либо клетки, т. е. считывать символ.