10. Теоремы об общезначимых формулах в исчислении высказываний и в исчислении предикатов.
Теоремами исчисления высказываний являются тождетвенно истинные формулы и только они:
-тавтология.
Док-во
1.(->) Аксиомы любой системы являются тавтологией. Правило заключения сохраняет тавтологичность => теоремы исчисления высказываний это тавтология.
2.(<-)
Пусть формула А-тавтология, тогда
в любой интерапритации (по лемме),
таким образом имеется
различных выводимостей:
среди них есть 2 различающиеся по
значению А'n принадлежит либо
либо
:
и
по теореме дедукции отсюда имеем
и
по теореме 3е выполняется следующее
применяем 2 раза правило MP, получаем
.
Повторить весь процесс ещё n-1
раз докажем выводимость
=> A выводимо из не
нулевого множества гипотез => А теорема.
Теорема об общезначимых формулах
– теоремами ИП являются общезначимые
формулы и только они.
Док-во:
1)
Аксиомы
системы
– по сути тавтологии. Все правила вывода
сохраняют общезначимость, т.е. их
применение к общезначимым формулам
снова даёт общезначимые формулы, значит
теоремы ИП – общезначимые формулы.
2) 
Доказал впервые Гёдель. Оно сложнее и
не приводится в этом курсе.
Опр. Две формулы F и G
эквивалентны, если 
F
G
Из теоремы об общезначимых формулах ИП следует, что между соотношениями ЛП и формальными эквивалентностями в ИП имеются аналогичные соответствия.
F
G
.
11. Примитивно рекурсивные функции: базовые функции и элементарные операции. Примеры примитивно рекурсивных функций.
Базовые фукции.
Простые одношаговые рекурсивные функции называются базовыми.
1)Нуль функция 0(х)=0
2)Функция
тождества(проектирующая функция, функция
введения фиктивных переменных) 
,
где 
,
если 
3)Функция
следования(прибавление единицы) 
*эта функция позволяет по числу построить сколь угодно большой начальный отрезок множества натуральных чисел
Элементарные операции.
Операции, с помощью которых можно получить из базовых функций рекурсивные называются элементарными.
1) Операция суперпозиции
Говорят,
что n-местная функция 
получена с помощью операторов суперпозиции
из m-местной функции 
и n-местных функций 
,
…,
,
если 
…,
)
2) Операция примитивной рекурсии
Говорят,
что n+1-местная функция
получена из n-местной 
и n+2- местной 
с помощью операции примитивной рекурсии
если ее значения можно вычислить по
формуле:
При n=0 схема примитивной рекурсии имеет вид
Будем говорить что функция получена из функции с помощью итераций
если:
Примеры:
Базовые функции
0(
– ПРФ, так как 0(
=0(
(
,…,
), т.е. получаем из базовых функций 0(x)
и 
f(x)=x+n т.к. f(x)=x
– ПРФ т.к. ее можно получить из функций
тождества и следования с помощью
оператора примитивной рекурсии.
(
– ПРФ т.к. ее можно получить из 0 и
сложения с помощью оператора примитивной
рекурсии.
Поскольку ПРФ должны быть определены на всем N, то вместо обычной разности в теории рекурсивной функции вводят арифмитическую или усеченную разность:
x-y (всюду ниже в этом билете над минусом ставится точка)
x-y=
функция x-1
Cигнум
sgn(x)=
sgn(x,y)=
=> sgn(x,y)=sgn(x-y)
К этим двум функциям можно ввести дополнительные:
