4. Взаимное положение прямых в пространстве.
Две
прямые в пространстве могут быть
параллельными, пересекающимися
или скрещивающимися. Если две прямые
параллельны, то их одноименные проекции
взаимно параллельны (рис. 4.8). Если две
прямые пересекаются, то точки пересечения
одноименных проекций принадлежат
одной линии связи (рис. 4.9). В частном
случае пересекающиеся прямые могут
быть перпендикулярными.
|
Конкурирующими точками называются такие точки пространства, которые имеют одинаковые координаты в плоскости проекций. Метод конкурирующих точек заключается в определении взаимной видимости точек (фигур) по координатам их несовпадающих проекций. Точка В находится выше точки А относительно плоскости π1 (ZB>ZA), поэтому на плоскости π1 видна точка В, которая закрывает точку А (считается, что наблюдатель смотрит на плоскости проекций из бесконечности и направление луча зрения параллельно проецирующему лучу S). На плоскости π2 видна точка D, так как она находится ближе к наблюдателю (дальше от плоскости π2, YD>YC) и закрывает невидимую точку С. Методом конкурирующих точек пользуются при определении видимости элементов пересекающихся геометрических фигур. |
14. Прямая, параллельная плоскости
При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости.
Задача. Дано: плоскость общего положения ABC и прямая общего положения, а требуется оценить их взаимное положение
|
Для этого через прямую а проведем вспомогательную секущую плоскость - в данном случае горизонтально проецирующая плоскость. Найдем линию пересечения плоскостей и АВС - прямую п (DF). Проекция прямой п на горизонтальную плоскость проекций совпадает с проекцией а1 и со следом плоскости . Проекция прямой п2 параллельна а2, п3 параллельна а3, следовательно, прямая а параллельна плоскости AВС. Прямая, перпендикулярная плоскости Большое значение для задач начертательной геометрии имеет частный случай пересечения прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости.
|
Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости. Пусть прямая n, перпендикулярная плоскости, пересекает плоскость BCD в точке N, тогда по условию n перпендикулярна любой прямой плоскости. Проведем в плоскости BCD горизонталь h, а на основании теоремы о проецировании прямого угла можно утверждать, что на горизонтальную плоскость проекций они проецируются под прямым углом, т.е. n1h1. Аналогично для фронтали – fn f2 n2.
Справедлива и обратная теорема: Если проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих главных линий плоскости (горизонтали и фронтали), то такая прямая перпендикулярна плоскости. Доказательство следует из теоремы о проецировании прямого угла.
Исходя из рассмотренных теорем, можно решить задачу о построении перпендикуляра к плоскости из точки А (рис.61).
Задача. Дано: плоскость ВСD и точка А.
Требуется построить прямую линию n проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости ВСD.
|
В плоскости ВСD построим фронталь f и горизонталь h. В горизонтальной плоскости проекций проведем через точку А1 прямую n1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1, а на фронтальной плоскости проекций через точку А2 прямую n2 перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f2, согласно, теореме о перпендикуляре к плоскости, полученная прямая n будет перпендикулярна плоскости ВСD.
|
15. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми (a,b)
Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми (a,b) и точка В. Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости (a,b) и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d. Согласно определения, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны между собой. Для того, чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой.d//a, с//b a с1//b1; a с2//b2; a с3//b3.
взаимно перпендикулярные плоскости |
|
|
|
Частный случаем пересечения плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей, перпендикулярных данной плоскости (h,f). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость . Для того, чтобы через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости (h,f), необходимо из точки А провести прямую n, перпендикулярную плоскости (h,f), (горизонтальная проекция n1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h1, фронтальная проекция n2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f2). Любая плоскость, проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости (h,f), поэтому для задания плоскости через точку А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми (m,n), будет перпендикулярна плоскости (h,f)(рис.66).
|
|
