1.5.5. Теоретико-множественный метод

Этот метод основан на вычислении теоретико-множественного тождества при определённых значениях входящих в него множеств, и, если при этих значениях множеств теоретико-множественное тождество истинно, то оно истинно и при любых других значениях входящих в него множеств.

Пусть теоретико-множественное тождество содержит n исходных множеств А₁,А₂, … ,А_n и каждая пара множеств находится в общем положении. Тогда универсум разбивается на множество В={В₁,В₂, … ,В_m} попарно-непересекающихся подмножеств. Каждому подмножеству В_j можно поставить в соответствие n-разрядный двоичный вектор, в котором i-ый разряд равен 1, если хотя бы один элемент множества А_i принадлежит подмножеству В_j , иначе i-ый разряд равен 0. Следовательно, количество m подмножеств, на которые разбивается универсум, равно количеству двоичных n-разрядных векторов, т.е. m=2ⁿ .

Определим множество А_i как множество, содержащее в себе в качестве элементов элементы множества В, объединение которых равно множеству А_i . Элемент В_jB будет принадлежать множеству А_i, если двоичный код числа j содержит единицу в i-ом разряде. Обозначим множество B_j натуральным числом j , тогда множество А_i будет представлять собой конечное множество натуральных чисел. Таким образом определим значения множеств А₁,А₂, … ,А_n и подставим их в левую и правую части тождества вместо исходных множеств А₁,А₂, … ,А_n . Вычислим множества, определяемые левой и правой частью тождества, и, если эти множества окажутся равными, то тождество верно.

Докажем этим методом тождество:

(AB)C=(AC)(BC).

Тождество содержит три исходных множества А, В и С, которые, в общем случае, разбивают универсум на 2³ подмножеств, соответствующих 3-х разрядным двоичным векторам. В таблице 1.3 представлены двоичные вектора и соответствующие им номера подмножеств.

Находим значения множеств А, В и С.

Просматривая столбец таблицы 1.3, соответствующий множеству А, обнаруживаем единицы в строках, соответствующих подмножествам 1, 3, 5 и 7, т.е. А={1,3,5,7}. Аналогичным образом определяем значения множеств В и С: В={2,3,6,7}, С={4,5,6,7}.

Таблица 1.3

Разбиение универсума множествами А, В и С на подмножества

Исходные множества			Номер Подмножества
С	В	А
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	2
0	1	1	3
1	0	0	4
1	0	1	5
1	1	0	6
1	1	1	7

Разбиение универсума множествами А, В и С на подмножества показано на рис.1.2 с помощью кругов Эйлера.

А 1 3 2 В

5 7 6

0

4 С

Рис.1.2. Разбиение универсума множествами А, В и С

на подмножества

Далее в левую и правую части тождества вместо исходных множеств А, В и С подставляем значения множеств А, В и С:

левая часть

(AB)C=({1,3,5,7}{2,3,6,7}){4,5,6,7}= {1,5,2,6}{4,5,6,7}={5,6}

правая часть

(AC)(BC)= ({1,3,5,7}{4,5,6,7})({2,3,6,7}{4,5,6,7})=

={5,7}{6,7}={5,6}

Значения левой и правой части совпадают, следовательно, тождество верно.