1.5.2. Метод эквивалентных преобразований

Теоретико-множественные тождества можно доказывать, используя свойства операций над множествами (см. п. 1.4. “Свойства операций над множествами”). Для этого нужно преобразовать левую часть в правую, или правую – в левую, или правую и левую часть в некоторое третье выражение.

Докажем этим методом тождество:

(AB)(AC)= A(BC).

Преобразуем левую часть к правой:

(AB)(AC)=((AB)(AC)) =

=(A(BC))(  )=

(A(BC))(  ) (  )=

=(A(BC))( ( (  ))=

=((A(BC)) )((A(BC))(  ))=

=((A(BC)) (A(  ))=

=(A(BC)) (A )=

= A((BC)  )=

= A((BC)-(BC))=

= A(BC).

Тождество доказано.

1.5.3. Метод характеристических функций

Доказательство сложных теоретико-множественных тождеств методом двух включений или методом эквивалентных преобразований часто бывает довольно громоздким, и при построении доказательства ход рассуждений не всегда очевиден. Одним из методов, не требующих ”угадывания” пути доказательства, является метод характеристических функций.

Характеристическая функция _А множества А для хU определяется следующим образом: _А(x)=1, если xA и _А(x)=0, если xA.

Для характеристической функции _А множества А справедливо тождество:

_А²(x)=_А(x).

Характеристическая функция _АВ(x) пересечения множеств А и В определяется произведением характеристических функций множеств А и В :

_АВ(x)= _А(x)_*_В(x).

Для получения характеристической функции _АВ(x) объединения множеств А и В сложим характеристические функции множеств А и В. Но в этом случае для элементов хАВ такая сумма будет иметь значение 2, поэтому из этой суммы необходимо вычесть характеристическую функцию _АВ(x) пересечения множеств А и В:

_АВ(x)= _А(x)+_В(x)-_А(x)_*_В(x).

Характеристическая функция  (х) дополнения множества А определяется формулой:

 (х)=1-_А(x).

Характеристическая функция _А-В(x) разности множеств А и В имеет вид

_А-В(x)= _А(x)-_А(x)_*_В(x),

а для симметрической разности -

_АВ(x)= _А(x)+_В(x)-2_*_А(x)_*_В(x).

Метод характеристических функций доказательства справедливости теоретико-множественного тождества заключается в выражении характеристических функций обеих его частей через характеристические функции входящих в него множеств. Тождества верны тогда и только тогда, когда характеристические функции левой и правой частей совпадают.

Докажем этим методом тождество:

(AB)C=(AC)(BC).

C одной стороны,

_(AB)C(х)= _(AB) (х)_*_C(х)=(_A(х)+_В(х)-2_*_A(х)_*_В(х))_*_С(х)=

=_A(х)_*_С(х)+_В(х)_*_С(х)-2_*_A(х)_*_В(х)_*_С(х).

С другой стороны,

_{(AC)(BC)}(x)=_AC(x)+_BC(x)-2_*_AC(x)_*_BC(x)=

=_A(x)_*_C(x)+_B(x)_*_C(x)-2_*_A(x)_*_C(x)_*_B(x)_*_C(x)=

=_A(x)_*_C(x)+_B(x)_*_C(x)-2_*_A(x)_*_B(x)_*_C(x).

Характеристические функции левой и правой частей тождества совпадают. Следовательно, тождество верно.

1.5.4. Метод логических функций

В результате выполнения операций объединения, пересечения, разности, симметрической разности и дополнения из исходных множеств получаем новые множества, которые определяются следующим образом (см. п.1.3.“Операции над множествами“):

АВ = {x | xA или xB}

АВ = {x | xA и xB}

А-В = {x | xA и xB}

АВ = {x | xA и xB или xВ и xА}

= {x | xА}

Из этих определений с учётом того, что xА = не xA , следует справедливость следующих равенств:

xАВ = xA или xB

xАВ = xA и xB

xА-В = xA и не xB

xАВ = xA и не xB или xВ и не xА

x = не xА

Используя вышеприведённые равенства, выразим принадлежность элемента множествам, определяемым левой и правой частью тождества, логическими (булевыми) функциями, зависящими от принадлежности элемента исходным множествам. Если полученные функции имеют одну и туже таблицу истинности, то тождество верно.

Докажем этим методом тождество:

(AB)C=(AC)(BC).

Для левой части,

x((AB)C) =

= x(AB) и xC =

= (xA и не xB или xВ и не xА) и xC

Для правой части,

x(AC)(BC) =

= x AC и не xBC или xВC и не xAC =

= xA и xС и не (xВ и xС) или xВ и xС и не (xA и xB)

Логические функции для левой и правой части тождества получены и их таблицы истинности (табл.1.2) совпадают, следовательно, тождество верно.

Таблица 1.2

Таблица истинности

XА	xВ	xС	Левая часть	Правая часть
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	1	0	0