Приоритеты операций над множествами

Название операции	Обозначение	Приоритет
Дополнение А		1
Пересечение А и В	АВ	2
Объединение А и В Разность А и В Симметрическая разность А и В	АВ А-В АВ	3 3 3
Равенство А и В Включение А в В Строгое включение А в В	А=В АВ или ВА АВ или ВА	4 4 4

1.4. Свойства операций над множествами

1. Идемпотентность:

АА=А АА=А

2. Коммутативность:

АВ=ВА АВ=ВА АВ=ВА

3. Ассоциативность:

А(ВС)=(АВ)С А(ВС)=(АВ)С А(ВС)=(АВ)С

4. Дистрибутивность для пересечения и объединения:

А(ВС)=(АВ)(АС) А(ВС)=(АВ)(АС)

5. Дистрибутивность для пересечения и разности:

A(B-C)=(АВ)-(АС) (AB)-C=(А-C) (А-С)

6. Дистрибутивность для пересечения и симметрической разности:

A(BC)=(АВ)(АС)

7. Дистрибутивность для разности:

(A-B)-C=(A-C)-(B-C)

( в общем случае А-(В-С)≠(А-В)-(А-С) )

8. Поглощения:

(АВ)А=А (А-В)А=А (АВ)А=А

9. Свойства нуля:

А=А А=

A-=A -A= A=A

10. Свойства единицы:

AU=U AU=A

A-U= U-A= AU=

11. Инвалютивность: =A

12. Законы де Моргана:

=  = 

13. Законы де Моргана для разности, пересечения и объединения:

A-(BC)=(A-B)(A-C) A-(BC)=(A-B)(A-C)

14. Свойства дополнения:

A  =U A  =

A  =U A- =A

15. Определение разности:

A-B=A =(АB)A

16. Определение объединения:

АВ=(АВ)(АВ)=(А-B)B=(B-A)A

17. Определение пересечения:

AB=(AB)-(AB)=A-(A-B)=B-(B-A)

1.5. Методы доказательства теоретико-множественных тождеств

Равенство, левая и правая части которого представляют собой выражения в алгебре подмножеств, верное для любых входящих в них множеств, называют теоретико-множественным тождеством . Рассмотрим различные методы доказательства теоретико-множественных тождеств.

1.5.1. Метод двух включений

Пусть левая часть теоретико-множественного тождества определяет множество X , а правая часть – множество Y . Чтобы доказать равенст-

во множеств X и Y , достаточно доказать два включения XY и YX , т.е. доказать, что из предположения xX (для произвольного x) следует, что xY , и, наоборот, из предположения xY следует, что xX.

Докажем этим методом тождество:

АВ = (АВ)-(АВ).

Пусть xАВ. Тогда, согласно определению симметрической разности, x(A-B)(B-A). Это означает, что x(A-B) или x(В-А). Если x(A-B), то хА и хВ, т.е. хАB и при этом хАВ. Если же х(В\А), то хВ и хА, откуда хАB и хАВ. Итак, в любом случае из х(А-В)(В-А) следует хАB и хАВ, т.е. и х(АВ)- (АВ). Таким образом, доказано, что

АВ  (АВ)-(АВ).

Покажем обратное включение (АВ)-(АВ)  АВ.

Пусть х(АВ)-(АВ). Тогда хАВ и хАВ. Из хАВ следует, что хА или хВ. Если хА, то с учетом хАВ имеем хВ, и поэтому хА-В. Если же хВ, то опять-таки в силу хАВ получаем, что хА и хВ-А. Итак, хА-В или хВ-А, т.е. х(А-В) (В-А). Следовательно,

(АВ)-(АВ)  АВ.

Оба включения имеют место и тождество доказано.