2.13. О неэффективности полнопереборных алгоритмов. Пример

Полнопереборные алгоритмы решения задач выбора с использованием алгоритмов порождения комбинаторных объектов являются универсальными, достаточно простыми для проектирования и программирования, но время их выполнения может быть очень велико даже при небольших размерностях задачи (количестве исходных данных), причём

настолько велико (может составлять годы или даже века), что о возмож-

ности их практического применения не может быть и речи. Поэтому, при проектировании таких алгоритмов, обязательно нужно теоретически оценивать время их работы на конкретных данных.

Для решения некоторых задач выбора можно построить уникальные, “быстрые” алгоритмы, позволяющие быстро получить решение даже при больших размерностях задачи. Покажем это на примере.

Рассмотрим задачу выбора, полнопереборный алгоритм её решения и более эффективный алгоритм.

Задача. Имеется n деталей. Каждая деталь должна быть обработана сначала на станке A, затем на станке B. Время обработки a_i каждой детали на станке A задано в последовательности (a₁,a₂,…,a_n), а на станке B - в последовательности (b₁,b₂,…,b_n). Требуется определить такую последовательность обработки деталей, при которой время обработки всех деталей минимально.

Решение. Определим алгоритм вычисления времени обработки всех деталей при заданной последовательности обработки деталей.

Пусть ak_i-1 – время окончания обработки i-1-ой детали на станке A. Следующую i-ую деталь можно начать обрабатывать на станке A в это же время и время окончания обработки i-ой детали на cтанке A будет ak_i=ak_i-1+a_i.

Пусть bk_i-1 – время окончания обработки i-1-ой детали на станке B. Если это время больше времени ak_i (рис.2.28,а) окончания обработки i-ой детали на cтанке A, то в это же время bk_i-1 можно начать обрабатывать i-ую деталь на станке B и время окончания обработки i-ой детали на cтанке B будет bk_i=bk_i-1+b_i. Если же время bk_i-1 окончания i-1-ой детали на станке B меньше ak_i (рис.2.28,б), то начать обработку i-ой детали на станке B можно только в ak_i, а закончить – в bk_i=ak_i-1+b_i.

Станок A i-1-я деталь ak_i-1 i-я деталь ak_i=ak_i-1+a_i

С танок B i-1-я деталь bk_i-1 i-я деталь bk_i=bk_i-1+b_i

а) bk_i-1>ak_i

Станок A i-1-я деталь ak_i-1 i-я деталь ak_i=ak_i-1+a_i

С танок B i-1-я деталь bk_i-1 i-я деталь bk_i=ak_i-1+b_i

простой

б) bk_i-1<ak_i

Рис.2.28. Определение времени окончания обработки i-й детали

на станках A и B

Исходя из этого получаем простой алгоритм вычисления времени обработки последовательности деталей, представленный блок-схемой на рис.2.29, которое совпадает с окончанием обработки последней детали на станке B.

ak:=0; bk:=0

ak:= ak+a_i

+

bk:=bk+b_i

bk:=ak+b_i

Рис.2.29. Алгоритм вычисления времени обработки

последовательности деталей

Естественно, это время зависит от порядка обработки деталей. Например, если рассматривать данные, приведённые в табл. 2.3, то время обработки последовательности деталей (1,2,3,4,5,6,7) будет 120. Времена окончания обработки каждой детали на станках A и B для этой последовательности представлены в табл. 2.4.

Таблица 2.3