1.2. Способы задания множеств

1. Перечислением всех элементов.

A={a,b,c} , B={b,a,c} , C={a} , D={1,2,3,5,9}. Из определения равенства множеств вытекает, что A=B.

2. Заданием характеристического свойства, выделяющего элементы данного множества среди элементов указанного или указанных других множеств.

A={x | xN и x<10} (N – множество натуральных чисел),

B={1,2,3,4,5,6,7,8,9} , A=B.

3. Описанием порождающей процедуры с указанием множества (или множеств), которое “пробегает” параметр (или параметры) процедуры.

A={x² | xN} – множество всех квадратов натуральных чисел.

Перечислением можно задать только конечное множество, а с помощью характеристического свойства или порождающей процедуры - конечное или бесконечное множество.

1.3. Операции над множествами

1. Включение А в В (АВ или ВА) истинно, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. В этом случае А называется подмножеством В, а В – надмножеством А. Множества А и В равны (А=В), если АВ и ВА. Пустое множество является подмножеством любого множества. Универсум является надмножеством любого множества. Множество всех подмножеств множества M называется булеаном и обозначается 2^М:

2^М= {A| AM}

Для конечного множества М |2^М|=2^|M|. Каждому подмножеству А можно сопоставить |M|-разрядный двоичный вектор С в котором: C_i=1, если iA и C_i=0, если iA, где i – элемент множества M, С_i – i-й разряд вектора С. Количество различных |M|-разрядных двоичных векторов равно 2^|M|, следовательно |2^М|=2^|M|.

2. Строгое включение А в В (АВ или ВА) истинно, если АВ и АВ. Если А и АВ , то А есть собственное подмножество В.

3. Объединение А и В (АВ) есть множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат А или В, т.е.

АВ = {x | xA или xB}.

4. Пересечение А и В (АВ) есть множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В, т.е.

АВ = {x | xA и xB}.

5. Разность А и В (А-В) есть множество, состоящее из всех тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

А-В = {x | xA и xB}.

Для обозначения разности множеств в дискретной математике обычно используют символ “\”.

6. Симметрическая разность А и В (АВ) есть множество, состоящее из всех тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В и только тех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А, т.е.

АВ = {x | xA и xB или xВ и xА}.

АВ = (АВ)-(АВ) = (А-В)(В-А).

7. Дополнение А до универсума U ( ) есть множество, состоящее из всех тех и только тех элементов универсума U, которые не принадлежат множеству А, т.е.

= {x | xА}.

= U-A.

Для любых двух множеств А и В имеет место хотя бы один из следующих пяти случаев (возможностей):

1) A=B, (|A|=|B|) А равно В;

2) AB, (|A||B|) А строго включено в В;

3) BA, (|B||A|) В строго включено в А;

4) AB=, (| AB|=0 и |AB|=|A|+|B|) А и В не пересекаются;

5) AB и AABB, (|AB|<|A|+|B| и |A|<|AB|>|B|) А и В в общем положении.

Если оба множества А и В не пусты, то имеет место только один случай.

На рис.1.1 приведены диаграммы Эйлера (Эйлер (1707-1783) предложил изображать множества в виде кругов ещё до создания теории множеств Кантором (1845-1918)), иллюстрирующие операции над множествами. Множества изображаются фигурами (овалами), а результат выделяется графически.

A B A B

А=В АВ

A B A B

АВ АВ

А В А В А

А-В АВ

Рис.1.1. Операции над множествами

Множество всех подмножеств множества U (булеан) с операциями над множествами образуют алгебру подмножеств (алгебру Кантора) множества U. Выражение, составленное из подмножеств множества U и операций над множествами называется выражением в алгебре подмножеств. Выражение в алгебре подмножеств может содержать скобки, определяющие порядок выполнения операций. Если скобки не указаны, то порядок выполнения операций определяется их приоритетами (табл.1.1). Значением выражения в алгебре подмножеств является подмножество множества U.

Таблица 1.1