2.7. Сочетания

Сочетанием из n элементов по k называется k-элементное подмножество n-элементного множества.

Теорема 2.5. Количество всех различных сочетаний из n элементов по k определяется формулой .

Доказательство. Можно получить все размещений, упорядочив всеми возможными способами каждое из сочетаний. Количество способов упорядочивания одного сочетания равно k!, следовательно = k! . Отсюда .

Пусть элементами множества М являются натуральные числа от 1 до n. Для сокращения записи такое множество будем обозначать {1..n}.

Рассмотрим алгоритм порождения сочетаний в возрастающем лексикографическом порядке, т.е. в порядке, когда в каждом сочетании элементы расположены в порядке возрастания слева направо, а каждое следующее сочетание больше предыдущего (при сравнении одно сочетание рассматриваем как число). Например, сочетания из шести элементов по три ( ), в возрастающем лексикографическом порядке запишутся следующим образом:

123 135 234 256

124 136 235 345

125 145 236 346

126 146 245 356

134 156 246 456

Сочетания в лексикографическом порядке можно порождать, используя метод поиска с возвращением. Начиная с 1-го места будем последовательно формировать элементы сочетания С. На первое место в сочетании можно ставить элементы из множества {1..n-k+1}. Формирование i-го элемента сочетания опишем рекурсивным алгоритмом 2.5, блок-схема которого представлена на рис.2.11. В цикле перебираются элементы множества {b..n-k+i}, которые можно поставить на i-ое место. Если на i-ое место поставлен элемент x, то минимальный элемент, который можно поставить на i+1–ое место, равен x+1. Если заполнено k-ое место, то сочетание сформировано и выводим его, иначе заполняем следующее i+1-ое место по алгоритму 2.5.

Алгоритм 2.5 порождения сочетаний из n элементов по k.

Вход: i – заполняемое место в сочетании С;

b – минимальный элемент, который можно поставить на i-ое место.

Выход: последовательность всех сочетаний из n элементов по k в возрастающем лексикографическом порядке.

Глобальные параметры: С – формируемое сочетание;

n – мощность множества.

k – количество элементов в сочетании.

C_i:= x

Сочетание (i+1, x+1)

Рис.2.11. Рекурсивный алгоритм порождения сочетаний

из n элементов по k

Пусть задано множество {1,2,3,4,5} и требуется получить все его сочетания по 3. Схема получения всех сочетаний по алгоритму 2.5 представлена на рис.2.12. В этой схеме представлены формируемые сочетания и множества, элементы которых можно поставить на очередное место в сочетании. В исходной ситуации все места сочетания неопределенны и на первое место можно поставить любой элемент множества {1,2,3}. В схеме к стрелкам приписаны номера действий. В результате

выполнения действия 1 на первое место сочетания устанавливается элемент 1, а на второе место после этого можно поставить любой элемент множества {2,3,4}. После выполнения действия 2 на второе место сочетания устанавливается элемент 2, а на третье место после этого можно поставить любой элемент множества {3,4,5} (действие 3) и первое сочетание {1,2,3} сформировано. Затем выполняется шаг назад и действие 4, ставящее элемент 4 из множества {3,4,5} на третье место и второе сочетание {1,2,4} сформировано. Аналогичным образом формируются все остальные сочетания. Действия 1, 11 и 17 заполняют первое место сочетания, действия 2, 6, 9, 12, 15 и 18 – второе место, действия 3, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 14, 16 и 19 – третье место.

сочетание