119

Оглавление

1. Множества…… ……………………………………………..........4

1.1. Основные понятия……………………………………………………4

1.2. Способы задания множеств………………………………………….5

1.3. Операции над множествами…………………………………………6

1.4. Свойства операций над множествами………………………………8

1.5. Методы доказательства теоретико-множественных тождеств…..10

1.5.1. Метод двух включений..…………………………………….10

1.5.2. Метод эквивалентных преобразований……………………...10

1.5.3. Метод характеристических функций………………………...11

1.5.4. Метод логических функций…………………………………..12

1.5.5. Теоретико-множественный метод……………………………14

1.6. Способы представления множества в памяти ЭВМ………………16

1.7. Алгоритмы реализации операций над множествами……………..16

Практическое занятие 1.1. Операции над множествами………….31

Практическое занятие 1.2.Теоретико-множественные тождества 34

Контрольные вопросы………………………………………………...…36

2. Комбинаторные объекты. .........................................................37

2.1. Введение……………………………………………………………..37

2.2. Метод поиска с возвращением……………………………………..37

2.3. Подмножества……………………………………………………….40

2.4. Перестановки………………………………………………………..43

2.5. Размещения………………………………………………………….46

2.6. Размещения с повторениями……………………………………….49

2.7. Сочетания……………………………………………………………52

2.8. Перестановки с повторениями……………………………………..55

2.9. Сочетания с повторениями…………………………………………58

2.10. Упорядоченные разбиения множества……………………………61

2.11. Разбиения множества………………………………………………68

2.12. Использование алгоритмов порождения комбинаторных

объектов при проектировании полнопереборных алгоритмов

решения задач выбора……………………………………………...81

2.13. О неэффективности полнопереборных алгоритмов. Пример…...85

Практическое занятие 2.1. Алгоритмы порождения

комбинаторных объектов………………………………………….89

Практическое занятие 2.2. Разбиения множеств………………...90

Практическое занятие 2.3. Задачи выбора……………………….92

Контрольные вопросы…………………………………………………...95

Библиографический список ……….……………………………………...98

1. Множества

1.1. Основные понятия

Создатель теории множеств Г.Кантор определил понятие множества и элемента множества следующим образом : ”Под множеством мы понимаем собрание определённых отличных друг от друга объектов (реальных или воображаемых), называемых элементами множества, в их общности”. Обычно множества обозначают прописными буквами латинского алфавита, а их элементы – строчными буквами или числами.

Количество элементов в множестве А называется мощностью множества А и обозначается А . Если каждому элементу множества А можно поставить в соответствие единственный элемент множества В и каждому элементу множества В можно поставить в соответствие единственный элемент множества А , то множества А и В называются равномощными и обозначается А=В .

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным .

Множество, не являющиеся конечным, называется бесконечным . Бесконечное множество называется счётным , если оно равномощно множеству N всех натуральных чисел. Говорят, что все элементы счётного множества можно пронумеровать. В противном случае бесконечное множество называется несчётным . Кантор доказал, что множество точек, расположенных на отрезке между 0 и 1 , несчётно. Счётными являются, например, множества чётных и нечётных чисел, множество целых решений неравенства х>5. Множество же действительных решений неравенства х>5 является несчётным. Мощность любого счётного множества меньше мощности несчётного. Счётными являются множества целых Z и натуральных N чисел, поэтому они равномощны Z=N.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается  или {}.

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсумом.

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов (А=В).

Если М - множество, а а – его элемент, то а принадлежит М (аМ). Если же а не есть элемент множества М, то а не принадлежит М (аМ).