Рождение "аналитической геометрии"

"Геометрия греков может быть сравнима с изящной ручной работой, алгебра арабов - с автоматическим производством. Мы можем сказать, что современная математика началась три столетия назад, когда алгебраические механизмы стали применять в геометрии и изучение кривых, поверхностей, геометрических фигур стало переводиться в изучение определенных уравнений" (Л. Ломбардо-Радиче). Эта революционная идея обязана своим возникновением Декарту; и "как все действительно великое, она обладает той простотой, которая граничит с очевидностью" (Э. Т. Белл). Центральная идея аналитической геометрии - Декарт излагает ее в небольшом трактате, озаглавленном "Геометрия" (1638), - поистине носилась в воздухе. Ее применял в те же годы, и, возможно, даже раньше, другой гениальный француз - юрист Пьер Ферма, который в часы, свободные от судебной практики, развлекался математикой. Фундаментальную идею аналитической геометрии можно пояснить следующим образом. Проведем две перпендикулярные оси (горизонтальную и вертикальную), берущие начало из одной точки О; кроме того, выберем единицу измерения расстояния. Тогда: 1) в одной точке квадрата могут соединиться два определенных числа (координаты) - абсцисса и ордината, которые соответственно измеряют расстояние Р от горизонтальной и вертикальной осей, т.е. длину сегментов OP1 и ОР2; 2) паре чисел (1, 2) соответствует одна, и только одна точка Р квадрата, та, которая имеет абсциссу 1 и ординату 2, т.е. та единственная точка, которая имеет расстояние 1 от вертикальной оси и расстояние 2 от горизонтальной.

Предположим, точка смещается по поверхности. Ясно, что координаты (х, у) всех точек кривой, порожденной перемещающейся точкой, задаются уравнением, которое называется уравнением кривой. Теперь решим алгебраически наше уравнение и переведем результаты всех расчетов в эквивалентные формы координат точек, на диаграмму, которую мы на время этих расчетов добровольно отложили в сторону. Очевидно, что гораздо лучше и с большей быстротой можно ориентироваться в алгебре, нежели в сложной паутине геометрии греков. Процедура, выработанная Декартом, позволяет нам отталкиваться от уравнений какой угодно степени сложности и геометрически интерпретировать алгебраические и аналитические свойства. В сущности, мы пользуемся алгеброй, чтобы раскрыть и изучить геометрические теоремы. И, таким образом, "мы не только больше не пользуемся геометрией как руководством, но и повесили ей камень на шею, прежде чем сбросить в море. С этого момента алгебра и математика будут нашими вожатыми в морях без компаса "пространства" и его геометрии. Все то, что мы сделали, может получить пространственное выражение с любым числом измерений; для плоскости требуются две координаты; для обычного пространства твердых тел - три; для геометрии механики и относительности - четыре координаты. <...> Декарт не пересматривал геометрию, он ее создал" (Э. Т. Белл). Декарт был поражен мощью своего метода и вполне понял его новизну и важность; и "он был прав, когда гордился, что создал геометрию более высокого уровня, нежели та, что существовала до него, намного выше, чем риторика Цицерона по сравнению с алфавитом" (J. Hadamard).

В сущности, Декарт обнаружил, что существующая геометрия слишком зависит от изображений, которые, утомляют воображение; алгебра же представлялась ему путаной и неясной. В своей "Геометрии" он поставил перед собой двойную цель: 1) освободить геометрию от фигур с помощью алгебраических действий; 2) придать алгебраическим операциям значение геометрической интерпретации; перевести геометрическую проблему на язык алгебраического уравнения, а затем, после упрощения уравнения, насколько возможно, решить его геометрическим способом" (К. Б. Бойер).

Метод Декартовых координат не производит на нас ныне впечатления, поскольку стал неотделимой частью нашего научного наследия. Но в то время он был событием огромной важности. Греки, утверждал Декарт, не заметили идентичности алгебры и геометрии, "иначе они не стали бы утруждать себя написанием стольких книг, в которых уже расположение их теорем показывает, что они не владели верным методом, с помощью которого решаются все теоремы". "Концепция Декарта наносит последний удар по концепции греков, геометрия окончательно утратила свой титул королевы математики, и на место геометрической математики приходит математика алгебраическая" (Э. Колерус). Это убеждение ясно выражено картезианцем Эразмом Бартолином, который в предисловии к "Геометрии" 1659 г. написал: "Вначале было полезно и необходимо поддержать наши способности абстрактно мыслить; поэтому геометры прибегли к фигурам, арифметики - к цифрам. Но эти методы недостойны великих людей, которые претендуют на звание ученых. Единственным великим умом был Декарт".

/…/