3.5. Расчет крических скоростей вращения многодисковых роторов

Рассмотрим вал с k дисками произвольно расположенными по валу (рис. 3.13). Масса вала может быть учтена за счет разбивки вала на участки и отнесения масс участков к массам соответствующих дисков.

Обозначим прогибы вала от масс дисков и участков вала в местах расположения дисков как (рис.3.13).

Рис.3.13. Ротор с несколькими дисками

Вал вращается с угловой скоростью и под действием центробежной силы дополнительно изгибается. Обозначим добавочные прогибы при вращении вала в местах расположения дисков через .

Обозначим работу центробежных сил на этих участках через , и потенциальную энергию дополнительной деформации вала как .

При всех скоростях вращения, кроме , вращение вала устойчиво, так как при любом возмущающем воздействии при его удалении из-за появляется дополнительная восстанавливающая сила приводящая вал в первоначальное состояние.

Таким образом, величина критической скорости вращения многодискового ротора, должна определяться из условия

(3.66)

Потенциальная энергия изогнутого вала определяется

(3.67)

Работа центробежных сил и гироскопических моментов при скорости вращения

Приравнивая работу центробежных сил и гироскопических моментов (3.68) потенциальной энергии деформации получим

(3.69)

откуда выразим

(3.70)

По формуле (3.70) может быть определена критическая угловая скорость, если задаться изогнутой осью вала. Для определения первой критической скорости в качестве изогнутой оси ротора принимается изогнутая ось от массы дисков и участков вала. При этом зависимость для расчета запишется

(3.71)

В подкоренном выражении числитель это удвоенная потенциальная энергия деформации при изгибе вала весом дисков и может быть определен по зависимости

(3.72)

Подставим выражения (3.72 в формулу (3.71)

(3.73)

Если пренебречь влиянием гироскопического момента то зависимость (3.73) примет вид

(3.74)

Пренебрегая влиянием на критические скорости вращения роторов гироскопических моментов из формулы (3.70) получим

(3.75)

Примем, что изогнутая ось вала с несколькими дисками подобна изогнутым осям с каждым из дисков в отдельности, тогда каждое из слагаемых в выражении (3.75) представляет величину обратную квадрату критической угловой скорости вала с одним диском.

Тогда из выражения (3.75) получаем приближенную формулу расчета критических скоростей вращения роторов с несколькими дисками (формула Данкерли)

(3.76)

Таким образом, критическую скорость вращения многодисковых роторов можно определить через критические скорости простейших систем, (рис.3.14).

Рис.3.14. Расчетная схема многодискового ротора: 1-весомый вал без

дисков; 2,3,4 – невесомый вал с одним диском

По данному методу ротор, состоящий из вала, установленного в опорах и нескольких дисков, размещённых произвольным образом по длине вала, разбивается на простейшие системы

- весомый вал без дисков;

- невесомый вал с дисками, размещёнными на определённом расстоянии от опор.

Критическая скорость ротора рассчитывается по зависимости:

, 3.77)

где - критическая угловая скорость вращения сложной системы; - критическая угловая скорость вращения весомого вала без дисков; - критическая угловая скорость вращения невесомого вала с одним - тым диском.

Критические скорости вращения весомого вала рассчитываются в зависимости от способа установки в опорах по формулам (3.41)…(3.43).

Для расчёта критической скорости невесомого вала с одним -тым диском - по одной из зависимостей рис. 3.9. определяется статический прогиб, а по формуле (3.44) критическая скорость.