3.2 Устойчивость быстровращающихся гладких валов
Расчетная схема вала (Рис. 3.6), представляет из себя идеально уравновешенный вал круглого сечения, расположенный на двух шарнирных опорах и вращающийся с угловой скоростью .
Рис. 3.6. Расчетная схема вращающегося упругого вала
Поперечное
сечение вала
и моменты инерции на изгиб
изменяются вдоль его длины. Центры масс
сечений лежат на оси вала.
Задача об устойчивости вала сводится к определению угловой скорости вращения вала и такой форме изгиба вала, при которых вал может вращаться в изогнутом состоянии и будет существовать равновесие между силами инерции кругового движения и внутренними силами упругости при отсутствии неуравновешенности.
Оси координат ху связаны с валом и вращаются вместе с ним с угловой скоростью .
Рассмотрим
изогнутый участок вращающегося вала
длиной
и действующие на него внутренние и
внешние силы.
Составим уравнение равновесия сил и моментов
(3.28)
где
-
интенсивность инерционной радиальной
нагрузки вала
(3.29)
- плотность материала.
Исключим из уравнений (3.28) , получим связь изгибающего момента с интенсивностью инерционной радиальной нагрузкой
(3.30)
Изгибающий момент в любом сечении вала пропорционален кривизне центральной оси вала и определяется по равенству
(3.31)
Для согласования знака кривизны и знака изгибающего момента (рис. 3.6) в формуле (3.31) знак минус.
Подставим в уравнения (3.30) зависимости для (3.31) и (3.29), получаем дифференциальное уравнение прогиба вала
(3.32)
Решение уравнения (3.32) дает линию прогиба вала переменного сечения по длине при потере устойчивости.
Для
проведения анализа зависимости (3.32)
рассмотрим вал постоянного поперечного
сечения
и введем относительную координату
.
Уравнения (3.32) запишется:
(3.33)
где
(3.34)
Общее решение уравнения (3.33) имеет вид
(3.35)
Постоянные интегрирования в уравнении (3.35) определяются по условиям закрепления по концам вала. Для расчетной схемы (рис.3.6.) имеем
Согласно (3.31) при нулевом моменте вторая производная прогиба также равна нулю.
Условия
закрепления левого конца вала (
):
.
Условия
закрепления правого конца вала (
(3.36)
Отсюда
,
т.е.
,
так как
(3.37)
Равенство (3.37) удовлетворяется решением
(3.38)
где - целые числа (1,2,3 и т.д.).
При
найденных значениях
прогиб вала возможен. Форма упругой
линии вала, согласно формулы (3.35),
определится синусоидой
(3.39)
Формула
(3.39) показывает, что возможно круговое
движения вала с прогибом в виде синусоид
и произвольным значением амплитуд
.
В пределах длины вала
укладывается целое число полуволн
синусоид (рис. 3.7), определяемое числом
.
Найденные формы изгиба могут возникнуть только при определенных угловых скоростях вала, которые определятся из формулы (3.34) при подстановке полученных значений .
(3.40)
Рис. 3.7. Формы колебаний двухопорного вала
Критические скорости вращения вала постоянного сечения определенные по формуле (3.40) называются критическими, на этих скоростях вал теряет несущую способность и может неограниченно прогибаться под действием неуравновешенной массы.
Как показывают анализ формул (3.39) и (3.40), вал имеет бесчисленное множество критических скоростей и соответствующим им форм изгиба.
Кратность
критической скорости
соответствует ряду
(
).
Обычно при анализе рассматривают первые формы колебаний.
Аналогично, используя граничные условия закрепления валов в опорах, можно получить зависимости для расчета критических скоростей вращения валов с другой заделкой в опорах.
Не выполняя вывода приведем формулы для расчета критических скоростей вращения для следующих схем закрепления валов:
- вал, закреплён одним концом в подшипнике и свободно опирающийся на другой подшипник.
.
(3.41)
- консольный вал с жёсткой заделкой в подшипнике одним концом. Первая критическая угловая скорость
.
(3.42)
Критические скорости вращения валов зависят от способа заделки в опорах и определяются материалом вала, расстоянием между опорами и геометрическими размерами вала.