3.4. Влияние гироскопического момента на критические скорости вращеня
Рассмотрим расчётную схему (рис.3.11). Вал шарнирно установлен в опорах А и В и на конце имеет консольный диск. Под действием веса диска вал изогнется и займет криволинейное положение.
Рис.3.11. Расчетная схема ротора с учетом гироскопического момента
При
вращении ротора ось вращения может
совпадать с криволинейной линией вала,
при этом угловая скорость вращения
вала равна абсолютной скорости вала.
При действии внешних факторов упругая
криволинейная ось вала может начать
вращаться относительно горизонтальной
оси ротора с переносной скоростью
.
Такое движение упругой линии называется
прецессионным. В этом случае абсолютная
скорость вала будет складываться из
относительной скорости (угловая скорость
вращения
)
и переносной скорости
(3.52)
При
вращении ротора с относительной угловой
скоростью
и прецессионной скоростью
вокруг изогнутой под углом
осью возникает гироскопический момент,
действующий в плоскости векторов
и
.
Действие гироскопического момента
всегда направлено на совмещение вектора
относительной скорости вращения ротора
с вектором переносной скорости
по кратчайшему расстоянию.
Значение гироскопического момента можно определить по формуле
(3.53)
-
массовый полярный момент инерции диска
относительно оси его вращения;
-
массовый экваториальный момент инерции
диска относительно его диаметра.
Ввиду малости угла можем принять
,
а
геометрическая сумма угловых скоростей
равна, алгебраической сумме
,
тогда
,
(3.54)
или
(3.55)
Рассмотрим возможные соотношения относительной и переносной скоростей:
1.
тогда
,
а
(3.56)
Такое движение (рис.3.11,б) называется прямой синхронной прецессией. При прямой синхронной прецессии гироскопический момент стремится уменьшить угол . Напряжения в любой точке сечения постоянны во времени.
2.
,
из равенства
Прецессионное движение, при котором переносная скорость равна и направлена противоположно абсолютной скорости, называется обратной прецессией (рис.3.11,в).
Гироскопический момент, действующий на ротор, определится
(3.57)
Знак + в уравнении (3.57) означает, что гироскопический момент стремится увеличить угол .
При обратной прецессии напряжения в вале знакопеременны во времени.
В реальном роторе реализуются любые промежуточные формы прецессионного движения.
В общем, виде формулу (3.55) можно записать
,
(3.58),
где
при прямой прецессии
при
обратной прецессии
Таким образом, мы получили, что при прямой прецессии гироскопический момент уменьшает угол , а следовательно, и прогиб у, повышая критическую скорость вращения ротора. При обратной прецессии увеличиваются угол , прогиб у, и снижается критическая скорость вращения ротора. Однако при обратной прецессии из-за знакопеременных напряжений и гистерезиса материала вала происходит затухание колебаний и из условий прочности такое движение предпочтительнее.