2.5 Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются собственными, а какие вынужден­ными?

2. Что такое явление резонанса и как оно проявляется?

3. Основные факторы, вызывающие колебания лопаток.

4. Каким образом частота возбуждающей силы зависит от числа оборотов ротора?

5. На какие формы деформаций подразделяются свободные коле­бания лопаток?

6. Возможно ли явление резонанса при частотах, не равных часто­там возбуждающей силы?

7. Чем обусловлено искажение рисунков реальных узловых линий от исходных?

8. Привести пример определения факторов, послуживших причи­ной поломки лопатки в компрессоре.

9. Какие геометрические размеры влияют на собственную частоту колебаний лопатки?

10. Влияет ли способ крепления лопатки на ее собственную часто­ту?

11. Как изменится частота собственных колебаний лопатки при изменении температуры лопатки?

12. Какие мероприятия необходимо провести, чтобы исключить работу лопаток на резонансных режимах?

13. Мероприятия, позволяющие снизить вредные факторы резо­нанса.

3. Критические скорости вращения роторов

При определенных скоростях вращения роторов возникают поперечные изгибные колебания, которые в не­которых случаях служат причиной разрушения конструкции. При­чинами, вызывающими колебания, могут быть: неуравновешенность деталей ротора, биение опор, неоднородность воздействия газового потока на лопатки, несоосности валов и соединительных муфт и т. д. При вращении роторов ГТД из-за неуравновешенности масс (дисбаланс), зазоров в опорах достичь математически точного совпадения центра тяжести ротора с геометрической осью вала практически нереально. Из-за эксцентричного положения центра масс относительно оси вала возникает неуравновешенная центробежная сила, возрастающая с дисбалансом и числом оборотов ротора, приводящая к прогибу вала.

Изгибная податливость ротора в целом невелика, однако при неко­торых угловых скоростях вращения ротора вал теряет устойчивость, прогибы и динамические напряжения интенсивно растут. При этом возможно задевание лопаток за корпус, разрушение подшипников и лабиринтных уплотнений, рост вибрации всей силовой установки и даже разрушение ротора.

3.1. Расчет критической скорости вращения невесомого вала с диском

Рассмотрим расчётную схему равномерно вращающегося с угловой скоростью ротора. Ротор, состоящий из вала длиной l посередине которого с эксцентриситетом е насажен тонкий диск массой , установлен в опорах А и В. В опоре А жёсткое крепление, в опоре В свободное в продольном направлении крепление вала. Для исключения влияния на прогиб ротора веса вала расположим ротор вертикально (рис.3.1.).

Рис.3.1. Расчетная схема ротора с одним диском

При вращении ротора из-за эксцентриситета возникает центробежная сила , вызывающая прогиб вала в сторону эксцентриситета от вертикальной оси. При этом, геометрическая ось вала точка W, отклоняется от вертикальной оси также на величину у, а центр масс диска отклонится от вертикальной оси на величину ( (рис.3.1,б).

Центробежная сила определится:

. (3.1)

При прогибе вала из-за его жёсткости возникает сила упругого противодействия

(3.2)

где с - коэффициент жесткости - сила, вызывающая единичный прогиб.

Значение коэффициента жесткости зависит от расстояния между опорами, расположением дисков по валу их числа и массы, заделкой опор, конструкции материала и геометрических размеров вала.

Пренебрегая силами демпфирования можно записать:

(3.3)

выразим из формулы (3.3)

(3.4)

С увеличением угловой скорости прогиб растёт и, при

, (3.5)

вал, теряет устойчивость, при этом прогиб вала неограниченно возрастает ( ).

Угловая скорость вращения ротора, при которой ротор теряет устойчивость, называется критической скоростью и определяется из равенства (3.5)

(3.6)

В реальном роторе из-за сил демпфирования, трения в опорах, внутренних сил и др. прогиб является конечной величиной и поломка вала происходит не сразу, поэтому возможно дальнейшее увеличение угловой скорости . Проанализируем зависимость (3.4). Для удобства анализа подставим (3.6) в (3.4) и разделим на

(3.7)

правая часть уравнения (3.7) положительна при и отрицательна при . Знак минус означает, что прогиб направлен в сторону, противоположную эксцентриситету. При этом центр масс диска, точка S, располагается между вертикальной осью (точка О) и геометрическим центром вала точкой (см. рис.3.1,в).

Графическая зависимость (3.7) представлена на рис.3.2.

Рис. 3.2. Изменение прогиба

вала от скорости вращения

С увеличением угловой скорости от нуля до критической прогиб увеличивается. При = происходит потеря равновесия между силами упругости и центробежной силой, то есть происходит потеря устойчивости ротора.

При повышении знаменатель выражения (3.4) и величина прогиба получаются отрицательными, причем прогиб у по абсолютной величине уменьшается. Это возможно только при уменьшении центробежной силы, а так как растет, то, следовательно, центр тяжести (точка S) располагается между центром геометрической оси и центром вертикальной оси О. Расстояние между точками W и О равно, по абсолютной величине, разности .

Таким образом, на больших скоростях вращения происходит снижение величины прогиба у, то есть самоцентровка ротора, при этом центр тяжести диска располагается на оси вращения (точки и совмещены рис.3.1,г).

Ротор, вращающийся с угловой скоростью меньше критической, называется жёстким, а ротор, вращающийся с угловыми скоростями - гибким.

Устойчиво работают как жёсткие, так и гибкие роторы. В процессе разгона гибкие ротора проходят через критические обороты, поэтому этот переход необходимо проходить быстрее, чтобы исключить большие прогибы ротора.

В реальных конструкциях рабочие обороты рассчитывают на значительном удалении от критических .

Критическая скорость вращения ротора численно совпадает с частотой собственных колебаний.

Рассмотрим полностью уравновешенный ротор (е=0). Если такой ротор привести в колебательное движение, отклонив импульсом силы на прогиб у, то он будет совершать колебательное движение по уравнению:

, (3.8)

проведем преобразование

, (3.9)

где .

Интегрируя дважды уравнение (3.9), получим

(3.10)

где А и В - коэффициенты определяемые из начальных условий.

Уравнение (3.10) соответствует гармоническим колебаниям с периодом и частотой .

Так как колебания ротора были свободными, то частота колебаний будет называться собственной частотой колебаний ротора.

Таким образом, мы получили, что значение критической частоты вращения ротора по величине совпадает с собственной частотой поперечных колебаний ротора. Методы расчёта собственных частот поперечных колебаний ротора можно использовать для определения критических скоростей вращения.

Проведем исследование динамической устойчивости вращающегося вертикального вала с диском, размещенным в его середине с эксцентриситетом.

Предположим, что центр прогиба вала (точка W), центр тяжести диска (точка S) и центр опор (точка О) не лежат на одной прямой рис. 3.3.

Рис.3.3. К исследованию

динамической устойчивости

Обозначим угол наклона прямой OW c осью Х через , а угол наклона прямой WS с осью Х, как .

В соответствии с обозначениями рис.3.3. запишем

(3.11)

Проекции на оси х и r силы упругости со стороны вала

и .

Запишем уравнения движения центра тяжести диска

(3.12)

Продифференцируем дважды выражения (3.11) по времени

(3.13)

Подставим две последние зависимости (3.13) в уравнения (3.12)

(3.14)

По теореме моментов количества движения - момент всех сил, действующих на диск равен вращающему моменту

, (3.15)

где - момент количества движения диска относительно начала координат; - момент всех сил, действующих на диск.

Момент количества движения относительно начала координат складывается из - момента количества движения диска относительно центра тяжести S и - момента количества движения относительно начала координат О массы , размещенной в центре тяжести

, (3.16)

где ; ; - полярный момент инерции диска.

Подставим выражения (3.16) в уравнение (3.15)

используя соотношения (3.11) и (3.13) и, проведя преобразования, получим

(3.17)

Нелинейные дифференциальные уравнения (3.14) и (3.17) полностью определяют движение диска.

Рассмотрим решение для диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью

Уравнения (3.14) и (3.17) запишутся

(3.18)

(3.19)

Используя выражения (3.18) преобразуем уравнения (3.19)

(3.20)

Каждое из уравнений (3.18) является уравнением вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы, так как проекции центробежных сил на оси и изменяются во времени по периодическому закону с частотой Таким образом мы получили, что движение точки W в плоскостях и ( - ось вала) колебательное.

При частотах вынужденных колебаний не равных частоте свободных колебаний , общие интегралы уравнений (3.18) запишутся

(3.21)

Первые слагаемые в выражениях (3.21) описывают свободные колебания с частотой , а вторые слагаемые вынужденные колебания с частотой

Свободные колебания из-за сопротивлений (трения диска о воздух, гистерезиса материала вала и т.д.) являются затухающими, поэтому в выражениях (3.21) первые слагаемые можно опустить, тогда

(3.22)

Подставляя выражения (3.22) в (3.20) получаем, что . Таким образом, после затухания свободных колебаний, при установившемся движении и отсутствии сопротивлений вращающий момент равен нулю, то есть вращение вала устойчиво при любых скоростях вращения, кроме .

Величина прогиба вала определяется

(3.23)

Подставим в формулу (3.23) соотношения (3.22) получим

(3.24)

Данное выражение полностью идентично формуле (3.4) так как Следовательно, сложение колебаний в плоскостях и показывает, что точка движется по окружности радиуса .

Подставляя в уравнения (3.22) значения координат и используя соотношение (3.24), получаем откуда следует, что

Таким образом получено, что при вращении ротора с постоянной угловой скоростью точки О,W,S – располагаются на одной прямой.

При критической скорости вращения , численно равной частоте свободных колебаний , возникает резонанс при котором прогибы резко возрастают.

При частные интегралы неоднородных дифференциальных уравнений (3.18), описывающие вынужденные колебания, имеют вид

(3.25)

Подставляя (3.25) в формулу (3.23), получим

Таким образом, получено, что на резонансных режимах прогиб растет со скоростью

Устойчивость вращения ротора двигателя рассмотрим по графической зависимости рис. 3.4. Ось абсцисс – прогиб , ось ординат – центробежные и упругие силы. Зависимость - прямая выходящая из начала координат под углом к оси абсцисс. Наклон прямой определяется упругостью вала

Рис. 3.4. Графическая интерпретация устойчивости ротора

Зависимости представляют собой прямые, выходящие из точек на оси ординат на расстоянии от начала координат. Тангенс угла наклона прямых центробежных сил к оси абсцисс равен . Точки пересечения прямых - и , характеризуют работу ротора с прогибом , так как в них .

При вращение ротора устойчиво, так как с увеличением прогиба у под внешним воздействием на значение возникает восстанавливающая сила , которая возвращает ротор в равновесное положение (точка В). Также и при уменьшении прогиба на величину возникает восстанавливающая сила , вследствие того, что .

Таким образом ротора, вращающиеся с угловыми скоростями , устойчивы. Устойчивая работа роторов обусловлена тем, что

С увеличением угловой скорости вращения ротора прямые центробежных сил смещаются по оси ординат вверх, и увеличивается угол их наклона к оси абсцисс (прямая Б).

При увеличении угловой скорости вращения ротора и сохранении центробежной силы при нулевом прогибе за счет снижения дисбаланса me

увеличивается угол наклона прямой к оси абсцисс и при угловой скорости вращения углы наклона прямых и становятся равными ( ), то есть прямые параллельны. Во всем диапазоне изменения нет пересечения прямых и .

При дальнейшем увеличении скорости вращения ротора центр тяжести диска располагается между геометрической осью ротора и центром вращения. Новое равновесное состояние при этом переходит в область отрицательных прогибов (точка Д рис. 3.4.), которое также устойчиво.

При сдвиге фаз собственных колебаний, характеризуемых прогибом у, и колебаний, возникающих от действия возмущающей силы, обусловленной действием центробежной силы от дисбаланса еm можно записать уравнение

(3.26)

При угол сдвига фаз положителен и меньше . При и угол сдвига фаз . При колебаниях без сопротивления, , взаимное расположение центра тяжести и центра вращения соответствует рис.3.1, а.

При резонансе , (при любом значении коэффициента затухания колебаний угол сдвига фаз ).

При скоростях вращения ротора угол сдвига фаз Если мал и , то (рис.3.1,б). При этом, согласно уравнения (3.7), в котором при знаменатель отрицателен, следовательно, отрицательным должен быть и эксцентриситет е. то есть можем записать

(3.27)

Из (3.27) следует, что с увеличением угловой скорости вращения ротора при , прогиб уменьшается и при прогиб . То есть при вращении роторов с угловыми скоростями , при внешнем воздействии, при его снятии, появляется восстанавливающая сила , возвращающая ротор в состояние устойчивого равновесия (точка Д рис.3.4).

Угловые скорости вращения роторов на рабочих режимах не должны быть близки к критическим скоростям.

Для жестких роторов рабочие скорости должны быть меньше, а для гибких больше критических скоростей. Диапазон скоростей, в котором не должны лежать рабочие скорости определяется допустимым прогибом вала.

Значение прогиба определяет радиальные зазоры между роторными и статорными частями двигателя, вибрационные перегрузки при прохождении критических скоростей.

Диапазон недопустимых скоростей вращения роторов на рабочих режимах определяется из зависимости относительного прогиба от соотношения скоростей, без учета знака прогиба рис.3.5

Рис.3.5. Определение границ допустимых

перегрузок

Если ограничить относительный прогиб пятикратным значением ( ), то угловая скорость вращения на рабочих режимах не должна находиться в пределах (0.92…1.12) .

При изготовлении двигателей необходимо стремиться добиваться минимального значения дисбаланса для увеличения диапазона угловых скоростей с допустимыми перегрузками и меньшего значения прогибов при рабочих режимах.

Допустим, что эксцентриситета нет ( ), тогда прямые и будут исходить из начала координат (прогиб вала при любых скоростях вращения, кроме - , отсутствует), а при прямые сольются. При этом ротор будет находиться в состоянии безразличного равновесия при любом значении прогиба.