2.2. Расчет первой собственной частоты колебаний лопатки переменного сечения

Существует много методов теоретического определения собственных частот колебаний лопаток: энергетический, метод наложений, конечных разностей и т.д. Рассмотрим метод наложений как наиболее простой. Однако он позволяет рассчитать только 1-ю форму колебаний.

Рассмотрим лопатку с заделкой в корневом сечении и примем следующую расчётную схему (рис.2.7):

Рис.2.7. Расчетная схема лопатки

Лопатку по длине разобьём на n- равных участков считаем, что в каждом сечении масса сосредоточена в середине участка, а площадь и момент инерции постоянны по длине участка и равны значениям в середине участка.

Рассмотрим произвольный -ый участок; -масса -го участка; , - площадь и момент инерции -го участка.

(2.39)

При свободных колебаниях каждая точка лопатки совершает колебания с частотой и амплитудой по гармоническому закону

(2.40)

К - той точке приложена сила инерции

. (2.41)

Подставим в уравнение (2.41) и, проведя дифференцирование, получим

. (2.42)

Так как при свободных колебаниях лопатки силы инерции являются единственными внешними силами, то можно составить систему из уравнений.

, (2.43)

где - коэффициент влияния представляющий собой прогиб в k точке, от единичной силы, приложенной в точке i. =1,2,…n; k=1,2…n.

Подставим (2.40) и (2.42) в уравнение (2.43) получим

(2.44)

Решение системы возможно в том случае если её определитель равен нулю

(2.45)

Частоты , удовлетворяющие уравнению (2.45) и есть искомые.

Представим определитель (2.45) в виде:

, (2.46)

где ; - коэффициенты, зависящие от массовых и упругих характеристик лопатки, в частности

(2.47)

Коэффициенты уравнения (2.46) также можно представить в виде степенного ряда

, (2.48)

где - корни уравнения (2.46).

Приравняем (2.48) и (2.47), получим

(2.49)

Так как частота низших гармоник намного меньше высших, то ими можно пренебречь и тогда

(2.50)

и частота первой формы колебаний определится

(2.51)

Коэффициенты влияния определяются через интеграл Мора

, (2.52)

где - момент от единичной силы, приложенный в точке ; - момент инерции сечения лопатки расположенного на расстоянии Х от места заделки.

тогда

(2.53)

Подставим (2.53) в формулу (2.51)

, (2.54)

где (2.55)

Факторы, влияющие на частоту собственных колебаний лопатки

Проведём анализ зависимости (2.54).

При увеличении длины лопатки собственная частота первой формы колебаний уменьшается пропорционально квадрату отношения длин лопаток:

.

Изменение температуры лопатки изменяет модуль упругости материала . Повышение температуры снижает Е и, следовательно, частоту собственных колебаний лопатки по соотношению

.

Материал лопатки характеризуется отношением . Для материалов, из которых изготавливаются лопатки, это отношение меняется незначительно. Так частоты собственных колебаний стальных лопаток всего на 5…7% , а титановых на 6…8% больше чем изготовленной из алюминия при тех же размерах. Однако усталостная прочность у лопаток из алюминия ниже в 4…5 раз.

Уменьшение осевых моментов инерции сечения лопатки приводит к снижению первой собственной частоты колебаний лопатки пропорционально корню квадратному из отношения моментов

Также на частоту колебаний существенно влияют параметры профиля – толщина, клиновидность, трапециевидность, закрученность.

Так, увеличение толщины профиля, в большей степени увеличивает жёсткость, чем массу, поэтому частота собственных колебаний также увеличивается.

Увеличение клиновидности (уменьшение отношения ), при неизменной площади корневого сечения, повышает частоту первой формы изгибных колебаний.

Уменьшение трапециевидности (отношение длины хорды лопатки на периферии к длине хорды в корневом сечении ), при постоянной площади корневого сечения, приводит к снижению частоты собственных колебаний лопатки.

Закрутка лопатки большого влияния на частоту колебаний не оказывает.

На частоту собственных колебаний лопатки оказывает влияние форма перехода от пера к хвостовику, тип и форма хвостовика, а также усилие затяжки хвостовика в диске.