2.1 Свободные колебания стержня постоянного поперечного сечения

Рассмотрим колебания стержня с жёсткой односторонней заделкой постоянного поперечного сечения (рис. 2.6). Считаем прогибы малыми, а силы и моменты функции не только координат, но и времени.

Выделим в стержне длиной на расстоянии от места заделки малый элемент dx и заменим воздействие отброшенных частей поперечными силами и изгибающими моментами М (см. рис.2.6).

Используя принцип Даламбера, запишем уравнение равновесия сил выделенного элемента на ось у

, или (2.8)

где - плотность материала лопатки; F- площадь рассматриваемого поперечного сечения лопатки.

Рис.2.6. Расчетная схема колебания стержня постоянного поперечного сечения

с односторонней жесткой заделкой

Приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно оси перпендикулярной плоскости ху, получим

(2.9)

Подставим выражение (2.9) в уравнение равновесия

. (2.10)

Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки при малых прогибах

. (2.11)

Подставим данное соотношение в выражение (2.9) и получим дифференциальное уравнение колебаний стержня

(2.12)

Для стержня постоянного сечения тогда (2.12) запишется

(2.13)

где (2.14)

Представим решения уравнения (2.13), с учетом граничных условий в виде суммы произведений функций времени и координаты

(2.15)

Подставим (2.15) в уравнение (2.13) получим

(2.16)

откуда, с учетом того, что t и х независимы друг от друга, то равенство (2.16) возможно только при условии

(2.17)

Для определения и составим из равенства (2.17) два обыкновенных дифференциальных уравнения

(2.18)

где

(2.19)

Решение первого уравнения (2.19) имеет вид

(2.20)

и является уравнением гармонических колебаний с круговой частотой .

Решение второго уравнения (2.18) представим в форме

(2.21)

Дифференцируя три раза выражение (2.21), получим

(2.22)

(2.23)

(2.24)

С учетом полученных зависимостей уравнение (2.15) запишется

. (2.25)

Следовательно, колебательное движение стержня является суммой бесконечно большого числа гармонических колебаний с различными частотами, каждой из которых соответствует своя форма упругой линии.

Постоянные интегрирования и связаны с амплитудой и фазой колебаний и определяются по граничным условиям.

Круговая частота и частота свободных колебаний связаны соотношением

(2.26)

Для лопатки с заделкой в корневом сечении, граничные условия имеют вид

(2.27)

(2.28)

Используя соотношения (2.9) и (2.11) граничные условия (2.28) можно записать

(2.29)

или для функции

;

Выражения (2.22)… (2.25) запишутся

(2.30)

(2.31)

Так как, и не равны нулям, то определитель системы равен нулю:

(2.32)

Раскрывая определитель, имеем

(2.33)

Полученное уравнение является трансцендентным, имеющим бесчисленное количество корней. Первые четыре корня этого уравнения равны:

Подставим в формулу (2.26) значение =1.875, получим первую частоту свободных колебаний

(2.34)

Аналогично вычисляются и другие формы колебаний.

Из выражения (2.31) можем записать:

(2.35)

Принимая в уравнении (2.21) и учитывая соотношения (2.30) имеем

(2.36)

Решая совместно уравнения (2.35) и (2.36) получим

(2.37)

Подставим (2.37) в уравнение (2.36) получим уравнения, характеризующее формы колебаний различных тонов

(2.38)

Различные формы колебаний лопатки приведены на рис.2.4.