Структура цифровых рекурсивных фильтров первого порядка

Для фильтра первого порядка (рис. 4.7) необходим лишь один элемент задержки (рис. 4.5). Используя формулу (4.4) для цепи задержки получаем Z-преобразованную выходную последовательность

Рис. 4.7. Цифровой фильтр первого порядка.

Отсюда находим цифровую передаточную функцию рекурсивного фильтра 1-го порядка:

Несложно получить следующие соотношения:

для фильтра нижних частот

для фильтра верхних частот

Фильтры нижних частот характеризуются, таким образом, соотношением D₁ = D₀, а для фильтров верхних частот D₁ = -D₀. Отсюда понятно, почему схема, приведенная на рис. 4.1, не является истинным фильтром нижних частот, а обладает лишь похожей характеристикой: коэффициент D₁ в формуле (4.8) не равен D₀. Это означает, что коэффициент d₁ соответствующего аналогового фильтра не равен нулю. Поэтому затухание на высоких частотах остается конечным.

Структура рекурсивных цифровых фильтров второго порядка

Е

Рис. 4.8. Цифровой фильтр второго порядка

сли к схеме на рис. 4.7 прибавить звено задержки, то получится фильтр второго порядка, который представлен на рис. 4.8. Существует, кроме того, возможность дальнейшего наращивания схемы, которую здесь, однако, мы не будем рассматривать подробно. Фильтр более высокого порядка может быть реализован добавлением следующего элемента задержки. Наиболее просто осуществлять каскадирование фильтров первого и второго порядка.

Передаточная функция A(z) блока фильтрации на рис. 4.8 получена тем же способом, что и для фильтра первого порядка. Анализируя схему на рис. 4.8 можно записать

Отсюда следует

С помощью этой схемы можно реализовать любую искомую передаточную функцию фильтра второго порядка.

Теперь, как и в случае фильтров первого порядка, рассмотрим некоторые специфические свойства коэффициентов. Применяя формулы пересчета для различных способов фильтрации, можно получить следующие выражения:

для фильтра нижних частот

для фильтра верхних частот

для полосового фильтра

Снижение влияния ошибок квантования с помощью обратной связи

Существует еще один способ уменьшения дополнительных ошибок квантования (см. раздел 1.2.2) в системах с передискретизацией (рис. 4.9).

Этот способ состоит в использовании обратной связи, цепь которой действует как фильтр, вычитающий из сигнала ошибки квантования (выпавшие младшие значащие разряды).

Так, например, шум квантования, вызванный сокращением длины кодовых слов до 14 бит (округлением), распределяется равномерно по полосе частот до f’/2 (88,2 кГц) при четырехкратной передискретизации звукового сигнала (f’=441004=176400 Гц=176,4 кГц).

Если сигнал постоянный (имеет постоянную величину), то ошибки округления смежных отсчетов одинаковы. Если эту ошибку вычесть из очередного отсчета, то можно уменьшить среднюю ошибку. При высокой частоте дискретизации огибающая реального звукового сигнала (по крайней мере в коротком отрезке времени) может рассматриваться как постоянная. Таким образом, эффект уменьшения ошибок квантования оказывается наибольшим на низких частотах сигнала.

Технически этот способ наиболее просто реализуется путем вычитания ошибок квантования из предшествующих разрядов (рис. 4.9, б).

Случай без шумоподавляющей обратной связи:

временная область у(n) = х(n) + q(n);

частотная область Y(z) = X(z) + Q(z);

Передаточная характеристика в z-области по шумовой составляющей:

H_Q = Y(z)/Q[z} = 1 (4.27)

Случай с обратной связью:

временная область у(n) = х(n) + q(n) - q(n - 1);

частотная область Y(z) = X(z) + Q(z) – z^-1Q{z} = X(z) + (1 - z^-1) Q(z);

Передаточная характеристика в z-области по шумовой составляющей:

H_{Q EF} =Y(z)/Q(z)= 1 - z^-1. (4.28)

Подставив z = ехр(j2fT₀’), получаем частотную характеристику:

Рис. 4.9. Структурная схема формирователя спектра ошибок квантования (а), эквивалентная схема простейшей реализации обратной связи по ошибке (б), результирующий спектр модулей ошибок квантования (в).

из которой расчетное увеличение отношения сигнал/шум в случае с обратной связью по сравнению со случаем без нее SNR₂ составляет:

где f – частота сигнала, B₀ – полоса частот полезного сигнала, f₀’ = 1/T₀' – частота пере-дискретизации.

Отсюда следует, что при увеличении частоты дискретизации f₀ по сравнению с максимальной частотой спектра полезного сигнала B₀, ₀ будет уменьшаться (в пределе стремясь к нулю). Таким образом, выигрыш в отношении сигнал шум SNR в пределе будет стремиться к бесконечности.