8. Знаходження опорного розв’язку. Симплексні таблиці, симплексні перетворення.

Для того, щоб задачу можна було розв’язати симплексним методом необхідно:

1. Математичну модель представити у канонічній формі.

2. Знайти опорний розв’язок.

3. Скласти початкову симплексну таблицю.

Для того, щоб знайти опорний розв’язок, необхідно щоб:

1. Вільні члени рівнянь стояли з правої сторони і були невід’ємними.

2. В системі обмежень повинен бути виділений базис.

Базисними називають змінні, які задовольняють наступні умови:

1. Біля базисної змінної стоїть коефіцієнт +1.

2. Базисна змінна міститься тільки в 1 рівнянні.

3. Різні базисні змінні повинні міститись в різних рівняннях.

4. Кількість базисних змінних повинна бути рівна кількості рівнянь, тобто кожне рівняння повинно містити свою змінну.

Усі інші змінні в системі називаються вільними. Якщо вільним змінним надати значення 0 і обчислити чому рівні базисні, то знайдемо базисний розв’язок системи.

Опорним називають базисний розв’язок, який не містить від’ємних чисел.

Серед опорних розв’язків і міститься оптимальний розв’язок, що максимізує чи мінімізує цільову функцію.

Суть симплексного методу полягає в тому, що ми перебираємо опорні розв’язки і за певним критерієм оцінюємо їх на оптимальність.

Початкова симплексна таблиця

Стовпчик БЗ – записують базисні змінні.

Стовпчик Сб – коефіцієнти, які стоять при базисних змінних і цільовій функції.

Стовпчик х₀ – значення базисних змінних в опорному розв’язку.

Рядок 1 – коефіцієнти цільової функції задачі.

Рядок 2 – записуються коефіцієнти, які стоять при відповідних змінних в системі основних обмежень.

Клітинка 3 – значення цільової функції при даному опорному розв’язку. Необхідно число стовпчика Сб помножити на відповідні числа стовпчика х₀ і добутки додати.

Рядок 4 – записуються оцінки відповідних змінних. Необхідно числа стовпчика Сб помножити на відповідні числа стовпчика змінної, добутки додати і відняти верхнє число. Оцінки базисних змінних завжди будуть дорівнювати нулю.

Якщо задача на знаходження максимуму цільової функції, то знайдений опорний розв’язок буде оптимальним, коли усі оцінки змінних є невід’ємними.

Якщо задача на знаходження мінімуму, то критерієм оптимальності є відсутність додатніх оцінок, тобто усі оцінки від’ємні або дорівнюють нулю.

9. Штучний базис, запис цільової функції та розв’язок м-задачі лінійного програмування.

Бувають випадки, коли основне обмеження представлене у вигляді рівняння, проте базисної змінної немає. В таких випадках вводиться штучна змінна ω, призначення якої – формально виконувати роль базисної змінної.

Очевидно, що в кінцевому розв’язку штучна базисна змінна може дорівнювати 0.

Якщо в розв’язку задачі існує хоча б одна базисна змінна, яка б не дорівнювала 0, це означає, що задача розв’язку немає, оскільки система обмежень є несумісною (такою, що немає розв’язків).

Щоб знайти опорний розв’язок та скласти початкову симплексну таблицю, спочатку задачу потрібно записати в канонічному вигляді.

Якщо задача на пошук мінімуму, то цільові функції біля штучної базисної змінної ставиться коефіцієнт +М, якщо задача на максимум, то записується коефіцієнт –М, де М – дуже велике число.

Оскільки задача на мінімум, то не повинно бути додатніх оцінок. Серед існуючих додатніх оцінок вибираємо найбільшу по модулю.

В останній симплексній таблиці існує змінна, яка не є базисною, проте її оцінка рівна 0. Якщо в останній симплексній таблиці змінна, що не є базисною, має нульову оцінку, це означає, що задача має не один розв’язок.

Для того, щоб знайти інший розв’язок, необхідно в базис ввести ту змінну, яка має нульову оцінку.

Між оптимальними розв’язками вихідної задачі і М-задачі існує наступний зв’язок: якщо в оптимальному розв’язку М-задачі усі штучні змінні ω_і рівні нулю, то значення усіх інших координат розв’язку х̄ дадуть оптимальний розв’язок вихідної задачі. Якщо хоча б одна із змінних ω_і не дорівнює нулю, то вихідна задача немає розв’язку.

Звертати увагу слід лише на ті числа, що стоять над нулями нижнього рядка.