6. Графічний метод розв’язку задач лп, що містять дві змінні.

Лінійне програмування – це розділ математичного програмування, в якому розглядаються задачі, цільова функція яких та усі обмеження в системі є лінійними. Якщо задача лінійного програмування містить не більше 2 символів, вона може бути розв’язана графічним методом.

І. Побудова області допустимих розв’язків.

1. Запишемо нерівності у вигляді рівнянь.

Кожне із цих рівнянь на площині задає деяку пряму, для того, щоб побудувати пряму, необхідно знайти координати 2 точок.

2. Побудова прямих. Заштрихована частина площини є областю допустимих розв’язків.

ІІ. Пошук оптимального розв’язку.

1. Побудова градієнта цільової функції. Градієнт функції – вектор, координати якого є відповідними частинними похідними першого порядку цієї функції.

У випадку лінійної функції координати градієнта рівні відповідним коефіцієнтам, що стоять при змінних цільової функції. grad z

Градієнт показує напрямок найшвидшого зростання функції. Координати градієнта можна множити і ділити на одне і те ж саме додатнє число.

2. Знаходження оптимального розв’язку. Необхідно лінійку розмістити перпендикулярно до градієнта і рухати її в напрямку, який вказує вектор (якщо задача на максимум). Рухаємось до тих пір, поки лінійка не дійде до самої крайньої точки заштрихованої області. Якщо задача на мінімум, то рухатись потрібно в протилежну сторону.

7. Форми запису задач лп, їх еквівалентність і способи перетворення.

Існують три форми запису математичних моделей задач лінійного програмування:

1. Загальна форма запису:

max (min) Z = c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n

Особливістю цієї форми є те,що в системі обмежень одночасно будуть причутні або нерівності обох видів ("≥", "≤") або ж нерівності і рівняння. Така модель з’являється після побудови математичної моделі конкретної економічної задачі.

2. Стандартна форма запису:

Особливості форми запису:

1. На усі невідомі, що є в задачі обов’язково накладається умова невід’ємності.

2. Якщо задача на мінімум, то усі основні обмеження є нерівностями виду "≥".

3. Якщо задача на максимум, то усі основні обмеження є нерівностями виду "≤".

3. Канонічна форма запису:

Особливості форми запису:

1. Усі основні обмеження є рівняння.

2. На усі невідомі задачі обов’язково накладається умова невід’ємності.

Усі три форми є еквівалентними Шляхи переходу від однієї форми запису до іншої:

1. Якщо задача на максимум, то її завжди можна записати як задачу на пошук мінімуму і навпаки.

2. Будь-яку нерівність виду можна представити у вигляді нерівності і навпаки. Тобто, щоб змінити знак нерівності, потрібно обидві частини помножити на -1.

3. Будь-яку нерівність виду можна представити у вигляді рівнянь:

4. Будь-яку нерівність виду можна представити у вигляді рівняння , де

5. Будь-яке рівняння можна представити у вигляді системи нерівностей:

Якщо деяка змінна х_і може набувати як додатніх, так від’ємних значень, то її завжди можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних змінних: