Задача 9. Изгиб с кручением

Шкив диаметром и с углом наклона ветвей ремня к горизонту 1 делаетn оборотов в минуту и передает мощностьN кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметрD 2 и одинаковые углы наклона ветвей ремня к горизонту2 . Каждый из них передает мощностьN /2(рис.9.1).

Требуется 1) определить моменты, приложенные к шкивам по данным величинам N иn ; 2) построить эпюру крутящих моментов M к ; 3) определить окружные усилия t 1 иt 2 , действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивовD 1 иD 2 ; 4) определить давления на вал, принимая их равными трем окружным усилиям; 5) определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкива и вала не учитывать); 6) построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил М гор и от вертикальных силМ верт ; 7) построить эпюру суммарных моментов . 8) по эпюрам М и иМ к найти опасное сечение и определить величину максимального расчетного момента по третьей теории прочности; 9) подобрать диаметр вала при [] = 70 МПа и округлить его величину (см. задачу 4).

Исходные данные: N = 40 кВт,n = 200 об/мин ,а =1,2 м,b = 1,6 м ,с = 1,0 м,D 1 = 1,2 м,D 2 = 0,68м,1 = 60 0 , ? 2 = 40 0 , [] = 70 МПа.

Решение.

1. Определение моментов, приложенных к шкивам. Момент на шкивах по передаваемой мощности и скорости вращения вала определяется по формуле

,

где N - предаваемая валом мощность, Вт, – угловая скорость вращения вала, рад/с.

Угловую скорость можно вычислить по формуле

c -1 .

Вычисляем момент на первом шкиве

М 1 = 40·10 3 / 20,94 = 1947,2 Нм.

Моменты на втором и третьем шкивах будут одинаковыми и равны половине момента первого шкива

973,6 Нм.

2. Построение эпюры крутящих моментов. Так как подшипники вала крутящий момент не воспринимают, то на участках АВ иD К крутящий момент равен нулю. Участок А В :М к 1 = 0. Участок ВС :Нм. Участок С D :Нм. Участок А В :. По полученным значениям построим эпю py M к (рис.9.2.)

3. Определение окружных усилий. Моменты на шкивах можно записать как разность окружных усилий, умноженную на радиус шкива, т.е. М = (Т -t )·D /2.

,	Н,
,	Н.

4. Рассчитываем усилия на вал от окружных усилий ,,и:

Н,

Н

5. Усилия Р 1 иР 2 спроектируем на координатные осих иу (см. рис.9.1):

Н, Н, Н, Н.

Р 1х иР 2х действуют в горизонтальной плоскости и имеют противоположные направления.   Р 1у иР 2у действуют в вертикальной плоскости и имеют одинаковые направления.

6. Построение эпюр изгибающих моментов от горизонтальных и от вертикальных сил.

а) Изгиб вала от горизонтальных сил (подшипники вала принимаются за шарнирные опоры).

Определение опорных реакций:

Н;

,

Н.

Проверяем правильность найденных реакций:

.

Для построения эпюры М гор рассмотрим каждый участок вала в отдельности(рис. 9.3). Участок АВ м ;,Нм. Участок ВС м ;Нм,Нм.

Участок KD м ; , Нм.

Участок DC м ;Нм,Нм.

б) Изгиб вала от вертикальных сил (рис.9.4).

Определяем опорные реакции: ,

Н;

,

Н.

Проверяем полученные результаты .

Следовательно, реакции опор определены правильно.

Построение эпюры М верт.

Участок АВ м ; , Нм.

Участок ВС м ; Нм , Нм.

Участок KD м ; , Нм.

Участок DC м ; Нм, Нм.

По вычисленным значениям М верт в определенном масштабе строим эпюру(см. рис.9,4а). 7. Построение эпюры Ми По значениям изгибающих моментов, возникающих от вертикальной и горизонтальной нагрузок, найдем суммарный изгибающий момент . Вычислим значения М и на границах участков вала: На опорах М и = 0. В точке В Нм,Нм, Нм, В точке С Нм,Нм, Нм, В точке D Нм,Нм, Нм.

По вычисленным значениям строим эпюру М и (рис. 9.4б).

8. Определение опасного сечения и величины максимального расчетного момента по третьей теории прочности.

Из эпюр М к иМ и видно, что опасное сечение будет в точкеС , гдеНм,Нм.

Нм.

9. Условие прочности вала по третьей теории прочности определяется по формуле ,

где W x - осевой момент сопротивления сечения. Для круга .

м.

Принимаем d = 135 мм.

Литература: 1, §4.9.

Задача 12. УСТОЙЧИВОСТЬ

Стальной стержень длиной l = 2,3 м сжимается силойР = 300 кН. Условия закрепления стержня и форма его перечного сечения показаны на рис.(12.1).

Требуется найти: 1) размеры поперечного сечения стержня 2) величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости при допускаемом напряжении на сжатие = 160 МПа. Решение. Определим основные геометрические характеристики сечения стержня. Главные моменты инерции сечения ,найдем, вычитая из момента инерции круглого сечения момент инерции квадрата, получим:

Площадь сечения

Минимальный радиус инерции

Расчет производим последовательными приближениями, предварительно задавшись значением коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения . Сечение будем считать подобранным удовлетворительно, если действующее в стержне напряжение? и допускаемое напряжение на устойчивостьотличаются не более чем на 5%.

В первом приближении задаемся. Тогда из условия устойчивостинаходим:

 

Отсюда м,

 

м.

 

Гибкость стержня ,

где – коэффициент приведения длины, величина которого зависит от способа закрепления стержня. Для стержня, защемленного с одного конца= 2.

Тогда .

По значению из таблицы для коэффициентовнайдем соответствующее значение:

при = 190= 0,21,

при = 200= 0,19.

Используя процедуру линейной интерполяции, получаем:

.

Так как значительно отличается от1, то повторим расчет с другим значением.

В качестве второго приближения возьмем.

Тогда м 2 ,м,

м,.

Из таблицы для коэффициента j подбираем:

.

В третьем приближении принимаем

В третьем приближении принимаем,м 2 ,

 

м, м,..

 

Проверяем: , что допустимо.

Критическая нагрузка может быть вычислена:

при - по формуле Эйлера:,

при - по формуле Ясинского:.

Для малоуглеродистых сталей предельная гибкость = 100,

а = 310 МПа,b =1.14 МПа,МПа.

В нашем случае= 153,3 > 100. Следовательно, критическая сила равна

кН.

 

Коэффициент запаса устойчивости равен:.

 

В заключение следует отметить, что в большинстве случаев для достижения удовлетворительного результата достаточно двух-трех приближений. В тех случаях, когда в первом приближении получается слишком большая гибкость (> 200), можно порекомендовать в качестве начального приближения принять= 0,1...0,2, либо воспользоваться приближенной формулой для вычисления:

, где.

В частности, для малоуглеродистых сталей .

Литература: 1, гл.13; 2, гл.14.

Задача 15. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ РАМА

Для изображенной на рис.15.1 нагруженной в своей плоскости рамы, вертикальные элементы которой имеют моменты инерции J , а горизонтальные элементы –к J ;

Исходные данные: k = 1,5;l = 6 м,h = 3 м,q = 10 кН/м. Требуется: 1)  установить степень статической неопределимости и выбрать основную систему; 2) написать канонические уравнения; 3) построить эпюры изгибающего момента от единичных сил и от заданной нагрузки; 4)  найти коэффициенты канонических уравнений; 5)  найти величины «лишних» неизвестных Х ; 6)  выполнить деформационную проверку правильности определения неизвестных; 7) построить эпюры внутренних силовых факторов N ,Q y ,M x .

Решение.

1. Степень статической неопределимости системы определяется равенством s =n – 3, где 3 – число независимых уравнений статики, которые можно составить для плоской системы сил;n – число связей, наложенных на раму. В нашем случаеs = 4 – 3 = 1.

Для раскрытия статической неопределимости используем метод сил. Так называемую основную систему, получаемую из заданной статически неопределимой путем отбрасывания «лишних» связей, удобно выбрать, отбросив опору А (рис.15.2). Вариантов выбора основной системы может быть несколько. Следует остановиться на таком, при котором эпюры изгибающих моментов от заданных и единичных нагрузок будут наиболее простыми. Кроме того, основная система должна быть геометрически неизменяемой. Нельзя, например, отбрасывать ни горизонтальную, ни вертикальную связи в точкеС .

Прикладывая к основной системе неизвестную реакцию отброшенной опоры Х 1 и заданную нагрузкуq , получаем эквивалентную систему (рис. 15.3).

2. Каноническое уравнение метода сил для данной системы запишется в виде

, (15.1)

где

d 11 - перемещение точкиА в направлении силыХ 1 от действия силыX 1 =1,

d 1 q - перемещение точкиА в направлении силыХ 1 от действия нагрузкиq .

3. Строим эпюры изгибающего момента М отдельно от действия силыX 1 = 1 (рис.15.4) и нагрузкиq (грузовая эпюра) - рис.15.5. При этом в ряде случаев можно обойтись без определения опорных реакций.

4. Для отыскания коэффициентов канонического уравнения d 11 и d 1 q используем способ Верещагина.

Для определения коэффициента d 11 единичную эпюру М умножаем саму на себя:

.

Для определения коэффициента d 1 q умножаем грузовую эпюру М на единичную эпюру:

 

.

5. Из канонического уравнения (15.1) найдем неизвестную Х 1 :

кН.

6. Из уравнений статики определяем опорные реакции (рис.15.6):

:;кН. :;кН. : кН.

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось у дает нуль, что подтверждает правильность определения опорных реакций:

.

Составляем выражения для N ,Q y иМ x по участкам:

1 участок: N 1 = 0; кН; кНм.	2 участок: кН; кН; кНм.
3 участок: кН; кН; кНм.	4 участок: кН; кН; кНм.

Вычислив значения внутренних усилий на границах участков, строим эпюры N ,Q y ,М x (рис.15.9).

Литература: 1, гл. 12; 2, гл, 6 .

Задача 16. ТОНКОСТЕННАЯ ОБОЛОЧКА

Тонкостенный цилиндрический резервуар диаметром D = 6 м заполнен на высотуН = 14 м жидкостью, плотность которойкг/м 3 . В резервуаре над жидкостью создано давлениер 0 = 0,2 МПа.

Требуется : 1)  найти толщину стенки резервуара из условия прочности в нижнем сечении, если МПа, используя четвертую теорию прочности; 2) построить эпюры окружных и меридиональных напряжений (вдоль меридиана). Решение. 1. В стенках резервуара возникают меридиональные и окружные нормальные напряжения. Для определения толщины стенки резервуара необходимо записать условие прочности в наиболее напряженном сечении резервуара. Таким является сечение резервуара у основания.

При данном способе закрепления резервуара вес жидкости воспринимается основанием, поэтому меридиональные напряжения возникают только от действия внутреннего давления р 0 и равны

,

а окружные напряжения возникают от давления газа и гидростатического давления р =р 0 + r g Н

,

МПа

Используя четвертую теорию прочности

,

получим.

 

м.

Округляя до большего целого значения, получим t = 6 мм.

2. Для построения эпюр меридиональных и окружных напряжений рассмотрим два участка: первый - часть резервуара выше уровня жидкости, второй - ниже уровня жидкости.

На первом участке

МПа;

 

МПа.

На втором участке меридиональные напряжения постоянны по всей высоте резервуара, а окружные напряжения линейно изменяются в зависимости от величины давления р =р 0 +r gz . В верхнем сечении (А ), на уровне поверхности жидкости, давлениер =р 0 = 0,2 МПа, в нижнем сечении резервуара (В ) -р =р 0 +r gH = 0,337 МПа(рис.16.2).

МПа; МПа, МПа.

Литература: 1,§1.16; 2, §64,65.

Задача 19. РАСЧЕТ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ

В опасном сечении вала диаметра d = 36 мм действуют крутящий моментМ к = 290 Нм и изгибающий моментМ и = 260 Нм. Вал из углеродистой стали (в = 590 МПа,Т = 280 МПа) не имеет резких переходов диаметра, выточек, канавок, поверхность его чисто обработана резцом.

Требуетсяопределить коэффициент запаса прочности в опасном сечении вала, приняв нормальные напряжения изгиба изменяющимися по симметричному циклу, а касательные напряжения кручения – по пульсирующему циклу (от нуля до максимального значения).

Коэффициенты концентрации напряжений и масштабные коэффициенты считать одинаковыми для нормальных и для касательных напряжений.

Решение.

1. Найдем максимальные нормальные напряжения изгиба и максимальные касательные напряжения кручения:

МПа,

МПа,

где W x ,W p – соответственно осевой и полярный моменты сопротивления.

2. По эмпирическим формулам находим предел текучести при кручении Т и пределы выносливости при кручении и изгибе (при симметричном цикле)-1 и-1 .

Для углеродистых сталей ,.

Примем МПа.

МПа;

МПа.

3. Найдем действительный коэффициент концентрации по формуле

.

4. Найдем масштабный коэффициент

.

5. Найдем коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

При симметричном цикле среднее напряжение и амплитуда цикла нормальных напряжений соответственно равны ,. При пульсирующем цикле среднее напряжение и амплитуда цикла касательных напряжений соответственно равны

МПа.

Коэффициент запаса прочности по усталостному разрушению при изгибе вычисляем по формуле:

.

Для определения коэффициента запаса прочности по усталостному разрушению при кручении из таблицы значений коэффициентовдля стали [1, табл.1.15] находим: прив = 590 МПа = 59 кг/мм 2 ,, приближенно принимаем.

Тогда .

Коэффициент запаса прочности по текучести:

при изгибе ;

при кручении .

6. Найдем общие коэффициенты запаса прочности по усталостному разрушению n и по текучестиn Т :

,

.

Литература: 1, гл.15; 2, гл.13.

Библиографический список

1. Дарков А.В., Кутуков Б.Н. Сопротивление материалов. 13 изд-е. М.: Высш. школа, 1979, 48 с.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М., 1975, 654 с.

3. Сборник задач по сопротивлению материалов /Под ред. В.К.Качурина. М., 1972, 432 с.

4. Миролюбов И.Н., Енгалычев С.А., Сергиевский Н.Д. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. М., 1962, 488 с.

5. Контрольные задания по сопротивлению материалов для студентов-заочников. Метод. указания /Сост.: С.Г.Сидорин, С.Г.Мухамбетжанов. КГТУ, Казань,. 1995, 40 с.

6. Сопротивление материалов. Опорный конспект лекций. Учеб. пособие /С.Г.Сидорин, Регентъ, 2003, 106 с.

 

Сопромат - заочно. Версия: 20 июня 2005 г. e-mail Сидорина С.Г. (sid_tlp@hotbox.ru) Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов e-mail Нурутдинова А.И. (avianai82@mail.ru) Кафедра информатики и прикладной математики Казанский государственный технологический университет