Задача 8. Внецентренное сжатие
Короткий чугунный стержень, поперечное
сечение которого изображено на рис.8.1,
а = 3 c м,b = 2 см, сжимается
продольной силойР , приложенной
в точкеА . Допускаемые нормальные
напряжения: на сжатие
МПа;
на растяжение
МПа.
|
|
Требуется: 1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через Р ; 2)
найти допускаемую нагрузку [ Р ]
при заданных размерах сечения и
допускаемых напряжениях чугуна на
сжатие Решение. 1. Нормальное напряжение в произвольной точке сечения стержня, определяемой координатами х иу , запишется в виде
|
и
на растяжение
.
,(8.1)
|
где х р , у р - координаты точки приложения силыР (точкиA ); F - площадь поперечного сечения стержня; J xc ,J yc - главные моменты инерции сечения. Определим величины главных моментов инерции сечения. а) Найдем положение центра тяжести сечения С . Введем вспомогательную систему координатх B у , относительно нее координаты центра тяжести равны
Статические моменты сечения
|
равны
сумме статических моментов элементарных
сечений (1, 2, 3), на которые его можно
разбить(см. рис. 8.3). Отметим,
что площадь первой фигуры следует
брать со знаком минус.
.Подставляя исходные данные, получим:
см
3 .
Тогда
см.
Ввиду симметрии сечения координату центра тяжести у c можно найти без вычислений, она равна половине вертикального размера сечения
у c = 2b = 4 см. Через найденный центр тяжестиC проводим главные центральные осих с иу с .
б) Вычислим главные моменты инерции.
Так как ось х с и оси элементарных сеченийх 1 ,х 2 ,х 3 совпадают, то:
см
4 .
Для вычисления момента инерции относительно оси у с используем формулу изменения момента инерции при параллельном переносе осей:
см
4 .
Здесь через d 1 ,d 2 ,d 3 обозначены : соответственно расстояния между осьюу с и осямиу 1 ,у 2 ,у 3 :
Для определения наибольших напряжений сжатия и растяжения, возникающих в сечении, определим положение нейтральной линии. Ее положение определяется уравнением
,
где
и
-
отрезки, отсекаемые нейтральной линией
на осяхx c иy c ,
,
-
главные радиусы инерции сечения,
х Р ,у Р – координаты точки приложения силыР (точкиА ) относительно центральных осейх Р = -1,14 см,у Р = 2 см.
Получим
см,
см,
см
,
см.
|
|
Отложим отрезки х 0 иу 0 и проведем через них нейтральную линию(рис.8.4). Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной возникают напряжения сжатия, в другой – растяжения. В точке А прикладывается сжимающая силаР , поэтому часть, включающая т.А – область сжатия, другая часть – область растяжения. Максимальные напряжения возникают в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной линии. Для определения этих точек проведем линии параллельные нейтральной, получим в растянутой части точкуК (-4,14; 4), в сжатой точкуЕ (1,86; -4)(рис.8.4). Подставляя в формулу (8.1)вычисленные значения моментов инерции, а также координаты точки приложения нагрузки и точек, где возникают наибольшие сжимающие (т.К ) и растягивающие (т.Е ) напряжения, получим: |
,
- максимальные напряжение растяжения
.
По вычисленным значениям построим эпюру
(рис.8.4).
2. Определим величину допускаемой силы [ P ].
Из условия прочности стержня при сжатии
,
получим
кН.
Из условия прочности стержня при растяжении
,
получим
кН.
Выбирая меньшую из двух нагрузок, окончательно принимаем
кН.
Литература: 1, § 2.9; 2, § 34.