Задача з. Теория напряженного состояния

Элементарный параллелепипед, находящийся в произвольном месте стальной конструкции подвергается действию системы напряжений, лежащих в одной плоскости (рис.3.1).

Требуется найти: 1) главные напряжения и направление главных площадок; 2)  максимальные касательные напряжения; 3)  главные деформации 1 ,2 ,3 ; 4)  эквивалентное напряжение по четвертой (энергетической) теории прочности; 5)  относительное изменение объема; 6)  удельную потенциальную энергию деформации.

Исходные данные: х = 90 МПа,у = 80 M П a ,х y = 50 МПа.

Решение.

При выполнении этой задачи необходимо руководствоваться следующим правилом знаков для нормальных и касательных напряжений:нормальное напряжение положительно, если оно направлено по внешней нормали к плоскости сечения, то есть оно является растягивающим, а сжимающее - отрицательно. Касательное напряжение по боковой грани призмы положительно, если изображающий его вектор до совмещения с внешней нормалью следует повернуть против часовой стрелки.

Расставим знаки напряжений на рис. (3.1).

Получим: х = -90 МПа,у = -80 M П a ,х y = 50 МПа,yх =-50 МПа

1. Найдем главные напряжения

(3.1)

Главные напряжения обозначают 1 ,2 и3 при этом индексы расставляют так, чтобы выполнялось неравенство: .(3.2) В задаче рассматривается плоское напряженное состояние, т.е. одно из трех главных напряжений равно нулю, поэтому из формулы (3.1)и правила(3.2)следует:

МПа,

МПа.

Направление главных площадок относительно заданных площадок, определяется по формуле:

Отрицательный угол0 откладывается по часовой стрелке от площадки с большим нормальным напряжением (в данном случаех , рис. 3.2). Можно также пользоваться правилом: для определения положения главной площадки с напряжениемmax необходимо площадку с большим (в алгебраическом смысле) нормальным напряжением повернуть на угол0 в направлении, в котором вектор касательного напряжения, действующего по этой же площадке, стремится вращать элементарный параллелепипед относительно его центра.

2. Найдем максимальные касательные напряжения. Они равны наибольшей полуразности главных напряжений:

МПа.

3. Найдем главные деформации 1 ,2 и3 из обобщенного закона Гука, приняв коэффициент Пуассона равным V= 0,5:

4. Найдем эквивалентное напряжение

5. Найдем относительное изменение объема:

6. Найдем удельную потенциальную энергию деформации:

В данной задаче .

Литература: 1; §1.3-§9.3

Задача 4. Кручение

К стальному валу приложены скручивающие моменты: М 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4(рис. 4.1).

Требуется 1)  построить эпюру крутящих моментов; 2)  при заданном значении [ ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшего большего значения из данного ряда диаметров 30, 35, 40,45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 3)  построить эпюру углов закручивания; 4)  найти наибольший относительный угол закручивания.

Исходные данные: М 1 =М 3 = 2 кНм,М 2 =М 4 = 1,6 кНм,а = b = с = 1,2 м, [] = 80 МПа,[]=0,3.

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются с помощью метода сечений. Крутящие моменты в произвольных поперечных сечениях бруса численно равны алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Рассекая последовательно участки вала, получим:

I участок ( КD ):	кНм.
II участок ( DC ):	кНм.
III участок ( СВ ):	кНм,
IV участок ( ВА ):	кНм.

По значениям этих моментов строим эпюру М к в выбранном масштабе. Положительные значенияМ к откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры (рис.4.2).

2. При заданном значении [ ] определим диаметр вала из расчета на прочность. Условие прочности при кручении имеет вид: где - абсолютная величина максимального крутящего момента на эпюреМ к (рис. 4.2). кНм; - полярный момент сопротивления для сплошного круглого вала. Диаметр вала определяется по формуле мм. Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.

3. Построим эпюру углов закручивания вала.

Угол закручивания участка вала длиной l постоянного поперечного сечения определяется по формуле

где GJ р - жесткость сечения вала при кручении.

Модуль сдвига для стали

Н/м 2

м 4 .

J p - полярный момент инерции круглого вала

Вычислим углы закручивания сечений В ,С ,D иК относительно закрепленного конца вала (сеченияА )

рад

рад,

рад,

рад.

Строим эпюру углов закручивания (рис.4.2).

4. Найдем наибольший относительный угол закручивания

рад/м.

Литература: 1; §1.6-§4.6