51. Типовой пример решения задачи из теории множеств

Пример: В каких отношениях находятся между собой множества A={1, 2, 3}, B={xR | x²-3x+2=0}, C={xZ | x≤3}.

Решение

Так как решением уравнения x²-3x+2=0 являются корни х1=2 , х2 =1, то множество B имеет вид B={1,2}. Отсюда получаем , что ВÌАÌС.

Типовой пример:

Для универсального множества U={-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5} множество A, заданного списком A={1,-2,3,-4} и для В, являющегося множеством корней уравнения

1. Найти множество A B, A B, A\B, B\A, , C=(A B) A

2. Выяснить, какие из 5 возможностей выполнены для множеств А и С

A C, C A, C=A, A C= , A B – в общем положении

3. Найти множество всех подмножеств P(B); Найти мощность |P(B)|

Сам пример: А={1,-2,3,-4} B={1,-2,4}

Находим методом перебора , первый корень -1 , второй корень -2, и третий 4

Отсюда С={1,-2,4}

1. Объединение: A B={1,-2,3,-4,4} A B={1,-2}

Разность: , A\B= {3,-4} , B\A={4}

={-5,-4,-3,-1,2,3,5}

Симметрическая разность: A B={3,-4,4}=A\B B\A

C=(A B) A= A B\A A\A B={3,-4,4}\{1,-2,3,-4} {1,-2,3,-4}\{3,-4,4}={4} {1,-2}={1,-2,4}

3. P(B)=8;

2. A C, C A, C A, A C , A B

52. Рекуррeнтное соотношение

     Пример 1: На плоскости нарисовано n - прямых, причем все прямые попарно не параллельны и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. На сколько полуплоскостей они разобьют нашу плоскость?

Решение: Рассмотрим пару тривиальных случая и пусть функция f(n) равняется количеству полуплоскостей образованных n - прямыми. Рассмотрим сначала тривиальные случаи:

1)  n = 0  =>  f(0) = 1

2) n = 1  =>  f(1) = 2

3) n = 2  =>  f(2) = 4

Теперь пусть на плоскости n прямых и мы проводим (n + 1) - прямую. Получим, что после проведения нашей (n + 1) - прямой общая численность полуплоскостей увеличиться на (n + 1) - полуплоскость. Отсюда получаем:

при 

при 

при 

Выражаем сначала   через   и получаем  и подставляем полученное равенство в последнее уравнение и получаем 

Теперь выражаем   через   и т. д. В итоге получим следующее равенство

     Пусть   - решение комбинаторной задачи для n - предметов и для этой задачи известно рекуррентное соотношение вида

          (1)

 - некоторая функция k - переменных. (1) - рекуррентное соотношение k - го порядка. Последовательность чисел   - решение (1), если при подстановке   в (1) получается верное равенство.

     Если первые k элементов   рекуррентного соотношения (1) заданы произвольно(т.е. между ними нет соотношений), то (1) имеет бесконечно много решений. Если же первые k элементов определены однозначно, то все остальные элементы определяются однозначно.

     Определение 1: Пусть   - общее решение (1), если оно зависит от k прозвольных постоянных, т.е.  . И для любого решения   существуют такие постоянные значения  , что 

Характеристическое уравнение

     Определение 2: Линейным однородным рекуррентным соотношением второго порядка с постоянными коэффициентами называется рекуррентное соотношение вида:

          (2)

 - нейкие коэффициенты, причем   отлично от нуля. Уравнение вида

 - характеристическое уравнение рекуррентного соотношения (2).

     Теорема 1: Если характеристическое уравнение рекуррентного соотношения (2) имеет два различных корня  , то общее решение рекуррентного соотношения (2) имеет вид

Если рекуррентное соотношение имеет два равных корня   , то общее решение рекуррентного соотношения (2) имеет следующий вид