Накопление выплат за период

(периодов – 4, ставка дохода – 10%, периодический взнос – 100 долл.)

Конец первого периода, первоначальный депозит Процент, первый период Остаток, конец первого периода Процент, конец второго периода Депозит, конец второго периода Остаток, конец второго периода Процент, конец третьего периода Депозит, конец третьего периода Остаток, конец третьего периода Процент, конец четвертого периода Депозит, конец четвертого периода Остаток, конец четвертого периода

100 0 100 10 100 210 21 100 331 33,1 100 464,1

Выше была рассмотрена специфика авансового аннуитета. Для того, чтобы оценить будущую стоимость авансового аннуитета, рассмотрим первый платеж. Первый платеж производится немедленно, поэтому «работать» и, соответственно, приносить доход это поступление начинает сразу, на один период больше, чем если бы оно было внесено в конце данного периода. Все последующие платежи так же «сдвигаются» и, соответственно, «работают» на один период больше.

Последний платеж в данном случае также «работает» один период и приносит соответствующий доход. Для того, чтобы превратить фактор будущей стоимости обычного аннуитета в фактор авансового аннуитета, необходимо взять фактор обычного аннуитета для потока доходов, увеличенного на один период, и вычесть из него единицу. При вычитании единицы и учитывается «сдвиг» первого (или последнего) поступления.

Графически расчет будущей стоимости авансовых аннуитетов представлен на рис. 12.

Про- цент

FV

1

2

3

n

…

1 2 n

Рис. 12. Будущая стоимость авансового аннуитета

Формула расчета будущей стоимости авансового аннуитета:

(1 + i)ⁿ⁺¹ – 1 колонка 2

F V_аванс = PMT - 1 FV_аванс = PMT n +1 - 1 (6)

i i

По формуле можно сделать вывод: поскольку деньги «работают» на один период больше, будущая стоимость авансового аннуитета больше накопленной суммы обычного аннуитета. Чтобы количество выплат не изменилось, из значения фактора вычитается единица.

Пример.

Господин Петров планирует через 5 лет приобрести квартиру, ориентировочная стоимость которой составит 94500 долл. Сможет ли он купить такую квартиру, если ежегодно будет откладывать по 15000 долл. на депозит, приносящий 8% годовых?

Решение.

1. Определим будущую стоимость обычного аннуитетного потока платежей в 15000 долларов:

• по таблице шести функций сложного процента:

кол. 2

FV = PMT 8 i = 15000 x 5,866601 = 87999,015 долл.

5 n

• н

  mode

  1

  mode

  6

  shift

  АС

  а финансовом калькуляторе «CASIO»:

15000 PМТ

5 n

8 i

cоmp FV

Результат: 87999,01 долл.

Расчеты показывают, что при такой системе накопления денег на покупку квартиры не хватит.

Рассмотрим вариант накопления, когда господин Петров будет вносить на депозит по 15000 долларов не в конце, а в начале каждого года:

• по таблице шести функций сложного процента

кол. 2

FV_авт = PMT 8 i - 1 = 15000 x (7,335929 – 1) = 95038,9 долл.

6 n

• на финансовом калькуляторе «CASIO»:

mode

1

mode

6

shift

АС

15000 PМТ

BGN

5 n

8 i

cоmp FV

Результат: 95038,9 долл.

Вывод: если господин Петров будет вносить по 15000 долларов не в конце, а в начале каждого года, к указанному сроку на счете будет аккумулирована нужная сумма.

Пример.

Совет директоров ОАО «Факел» принято решение осуществить капитальный ремонт здания через 3 года. Сегодня стоимость ремонта составляет 700000 долл., конъюнктурные исследования показали, что такой ремонт дорожает в среднем на 7% в год. Для аккумулирования нужной суммы было решено всю получаемую предприятием чистую арендную плату в размере 220000 долл. депонировать по окончании каждого года на счете под 18% годовых. Определить, хватит ли накопленной суммы на ремонт?

Графическое решение задачи представлено на рис. 13.

700000

FV₂ = 785928 долл.

i = 7%

FV₁ = 857530 долл.

i = 18

PMT = 220000

FV₁< FV₂

1 2 3

Рис. 13. Схема накопления средств

Решение.

1. Планируем стоимость ремонта по таблице шести функций:

кол. 1

FV₁ = PV 7 i = 700000 x 1,225043 = 857530 долл.

3 n

2. Определим, какая сумма будет накоплена на счете к концу третьего года:

кол. 2

FV₂ = PV 18 i = 220000 x 3,572400 = 785928 долл.

3 n

3. Сравним требующуюся на ремонт сумму FV₁ с суммой FV₂, которая будет накоплена:

FV₁ > FV₂; 857530 долл. > 785928 долл.

Вывод: при такой схеме накопления денег на ремонт не хватит.

Разберем эту же задачу, но с условием, что взносы на депозит будут осуществляться не в конце, а в начале месяца. Определим, какая сумма будет аккумулирована на счете к концу третьего года.

В ыполним вычисления по таблице сложного процента:

кол. 2

FV_2(ав) = 220000 18 i - 1 = 220000 x (5,215432 – 1) = 927395 долл.

3 n

Выполним те же расчеты на финансовом калькуляторе:

mode

1

mode

6

shift

АС

220000 PМТ

BGN

3 n

18 i

cоmp FV

Результат: 927395 долл.

Вывод: если средства на счет будут вноситься не в конце, а в начале каждого периода, денег на ремонт хватит: FV₂ > FV₁.

Пятая функция сложного процента – взнос на амортизацию.

Амортизацией называется процесс погашения долга с течением времени. Функция взнос на амортизацию позволяет определить, какими должны быть обязательные периодические платежи по кредиту, включающие и проценты (on), и сумму выплат по основному долгу (of), позволяющие в течение установленного срока погасить кредит.

Взнос на амортизацию одной денежной единицы является обратным по отношению к фактору текущей стоимости обычного аннуитета. Взнос на амортизацию одной денежной единицы иногда называют ипотечной постоянной.

Следует отметить, что чем выше процентная ставка и/или короче срок амортизации кредита, тем выше должен быть обязательный периодический платеж. И наоборот, чем ниже ставка процента и продолжительней срок выплат, тем ниже обязательный регулярный платеж. Каждый равновеликий взнос на амортизацию единицы включает процент (доход на инвестиции) и выплату части первоначальной основной суммы (возврат инвестиций). Соотношение этих составляющих изменяется с каждым платежом.

Г рафически функция взноса на амортизацию представлена на рис. 14.

Руб.

PV

i

PMT

on

on

on

on

of

of

of

of

…

n годы

Рис.14. Взнос на амортизацию

Интенсивное и широкое использование фактора взноса на амортизацию одного доллара вызвало необходимость в построении соответствующих таблиц. Таблицы сложного процента, как правило, в колонке 6 показывают данный фактор в расчете на 1 доллар кредита.

Для количественного определения размера платежей в счет погашения кредита используется формула:

i

P MT = PV ; PMT = PV × кол. 6 (7)

1 – 1/(1 + i)ⁿ

Многие кредиты предусматривают ежемесячные, поквартальные или полугодовые платежи. Чтобы учесть это, необходимо разделить номинальную годовую ставку процента на частоту накопления (например, при ежемесячном накоплении разделить на 12) и умножить число периодов одного года на число лет (например, при ежемесячном накоплении умножить число лет на 12). Так определяется число периодов, на которые предоставляется кредит.

На финансовом калькуляторе «CASIO» для этого используется клавиша shift.

Пример.

Для разработки и запуска в производство новой модели требуется 1850000 долларов. ЦБ предоставляет кредит под 8% годовых на 5 лет. Определить, какую сумму следует возвращать банку ежемесячно, чтобы к концу пятого года кредит был погашен?

Решение.

кол. 6

РМТ = PV 8 i = 1850000 x 0,0202764 = 37511,34 долл.

5 n

То же на финансовом калькуляторе:

mode

1

mode

6

shift

АС

1850000 PV

8 shift i

5 shift n

cоmp PMT

Результат: 37511,33 долл.

Пример.

Определить размер ежегодного платежа по ипотечному кредиту в 35000 долларов, представленному на 8 лет, при номинальной годовой ставке 7% и полугодовом, ежемесячном, годовом начислении процента.

Решение.

При полугодовом начислении процента

mode

1

mode

6

shift

АС

35000 PV

8 × 2 = n

7 : 2 = i

cоmp РМТ

Результат: 2893,97 долл.

При ежемесячном начислении процента

mode

1

mode

6

shift

АС

35000 PV

8 shift n

7 shift i

cоmp PМТ

Результат: 477,18 долл.

П ри годовом начислении процента

РМТ = PV кол. 6 = 35000 × 0,1674678 = 5861,37 долл.

7 i

8 n

Шестая функция сложного процента – фактор фонда возмещения.

Данная функция показывает размер равновеликого периодического взноса, необходимого вместе с процентом для того, чтобы к концу определенного числа периодов накопить 1 денежную единицу. Каждая периодическая сумма вносится в конце каждого периода. Этот фактор является обратным по отношению к функции накопления единицы за период (2 колонка) и учитывает процент, получаемый по депозитам. Например, чтобы через четыре года получить 1 доллар при нулевом проценте, в конце каждого года необходимо депонировать 25 центов. Если же сложная ставка составит 10%, то по окончании каждого из четырех лет необходимо будет депонировать только 0,215471 доллара. Разница между 1 долларом и суммой четырех взносов (4 × 0,215471 = 0,861884) равна проценту, приносимому депозитом.

Часто в тех случаях, когда вплоть до истечения срока долгового обязательства кредитору выплачивается только процент, заемщики для погашения основной суммы кредита создают специальные фонды возмещения. В каждый период должник вносит в отдельный фонд сумму, которая вместе с начисляемым на нее процентом должна обеспечить погашение основной части кредита. С истечением срока задолженности фонд закрывается, а его остаток используется для погашения кредита.

Фактор фонда возмещения составляет часть от взноса на амортизацию 1 доллара. Взнос равен сумме двух коэффициентов: 1) ставка процента, или дохода на инвестиции (on); 2) фактор фонда возмещения, возмещение или возврат инвестированных средств (of). Фактор фонда возмещения, рассчитанный по тому же проценту, что и ставка по кредиту, является нормой погашения основной суммы кредита. Например, фактор взноса на амортизацию кредита в 1 доллар при 10%-ной ставке в течение четырех лет составляет 0,315471. Из этого фактора 0,10 приходится на 10%-ную ставку (0,10) и 0,215471 – на фактор фонда возмещения при 10%-ной ставке. Для факторов фонда возмещения также построены таблицы. Фактор расположен в третьей колонке.

Графически функция фактора фонда возмещения представлена на рис. 15.

1

FV

i

PMT

?

?

?

?

…

n

Рис.15. Фактор фонда возмещения

Формула определения фактора фонда возмещения:

PMT = FV × i/((1 + i)ⁿ – 1); PMT = FV × кол. 3. (8)

Пример.

Предприниматель планирует через 4 года приобрести оборудование, ориентировочная стоимость которого к этому времени по прогнозам составит 5000 долларов. Для аккумулирования требуемой суммы был открыт специальный счет, приносящий 14% годовых. Определить, какую сумму следует вносить на счет ежегодно (ежемесячно), чтобы к концу четвертого года иметь нужную сумму?

Решение.

1. Ежегодные периодические взносы составят:

Р МТ = FV кол. 3

РМТ = 5000 × кол. 3 = 5000 × 0,2032048 = 1016,02 долл.

14 i

4 n

Тоже с использованием финансового калькулятора:

mode

1

mode

6

shift

АС

5000 FV

4 n

14 i

cоmp PМТ

Результат: 1016,02 долл.

2. Ежемесячные периодические взносы составят:

P MT = 5000 × кол. 3 = 5000 × 0,0156598 = 78,299 долл.

14 i

4 n

То же на финансовом калькуляторе:

mode

1

mode

6

shift

АС

5000 PV

4 shift n

14 shift i

cоmp PМТ

Результат: 78,299 долл.

Таблица 6

Таблица шести функций сложного процента при ежегодном накоплении и базисной ставке дохода

1-я колонка	2-я колонка	3-я колонка	4-я колонка	5-я колонка	6-я колонка
1-я функция	4-я функция	6-я функция	2-я функция	3-я функция	5-я функция
Сумма по сложному проценту накопления денежной единицы	Накопление единицы за период	Фактор фонда возмещения или чистая норма возврата кредита (of)	Текущая стоимость единицы или реверсия	Текущая стоимость аннуитета	Взнос на амортизацию. Взнос на погашение 1 денежной единицы (of + on), (3-я колонка + i)
FV ? 1 1 1 1 FV ? FV 1 1 1 1 FV 1 FV ? PV ? 1 1 1 PV 1 ? ? ? FV = PV (1 + i) n PV i n FV - ? Показывает будущую стоимость 1 денежной единицы при заданной ставке дохода и через определенный промежуток времени	Платежи в конце срока FV = PMT ((1 + i)n – 1)/i Авансовые платежи FV = PMT ((1 +i)n+1– 1)/i – 1 Платежи в середине года FV = PMT ((1 + i)n-0,5 – 1)i РМТ i n FV - ? Показывает, сколько будет накоплено к концу срока, если регулярно откладывать по 1 денежной единице	РМТ = FV x i ((1 + i)n – 1) FV i n PMT - ? Показывает, какими должны быть платежи, чтобы к концу заданно-го срока на счете была аккумулирована определенная сумма	РV = FV x 1 (1 + i)n FV i n PM - ? Показывает, какова текущая стоимость 1 денежной единицы, полученной через заданный срок	Платежи в конце срока РV = PMT (1 - 1/ (1 + i)n)/i Авансовые платежи РV = PMT (1 - 1/ (1 + i)n-1)/i +1 PMT PMT n i PV - ? Показывает, какова те-кущая стоимость серии платежей в одной де-нежной единице. Функ-ция позволяет при из-вестных платежах оп-ределить их текущую стоимость	РМТ = РV x i /(1 – 1 (1 + i)n) РМТ PV i n PMT - ? Показывает, какими должны быть платежи, чтобы погасить кредит

Взаимосвязи между различными функциями

Все шесть функций сложного процента строятся с использованием общей базовой формулы (1 + i)ⁿ, описывающей накопленную сумму единицы. Все факторы являются производными от этого базового уравнения. Каждый из них предусматривает, что процент приносит деньги, находящиеся на депозитном счете, причем только до тех пор, пока они остаются на депозитном счете. Каждый фактор учитывает эффект сложного процента.

В сводной таблице (табл. 6) представлены все шесть функций сложного процента при ежегодном начислении дохода. Стрелками обозначены взаимообратные функции.

В табл. 7 приведены базовые функции сложного процента и их обратные величины.

Таблица 7