Расчет накоплений суммы при простом проценте

Период (год)	Сумма вклада на начало года, руб.	Сумма дохода от вклада, руб.	Сумма вклада на конец периода, руб.
1	100	10	110
2	110	10	120
3	120	10	130

Таким образом, получается, что 1 сегодняшний рубль эквивалентен 1,1 рубля, полученного через год; 1,2 рубля – через два года; 1,3 рубля – через три года. Мы видим, что с течением времени деньги меняют свою стоимость.

В общем случае при ежегодном начислении i процентов на 1 вложенный рубль в течение n лет прирост составит (i × n) руб., а итоговая сумма на счете – (1 + i × n) руб.

Существует иной порядок начисления процентов, – сложный (кумулятивный) процент. Он означает, что полученный доход, будучи положенным на депозит вместе с первоначальными инвестициями, становится частью основной суммы. В следующий период наряду с первоначальной суммой он уже сам приносит новый процент.

Таким образом, в отличие от простого процента сложный предполагает, что доход приносит не только первоначальная сумма, но и полученный ранее процент от нее. Причем, процент начисляется только на «работающие» денежные средства на депозите, но не на снятые с него проценты или основную часть вклада. Так, например, если на счет, приносящий 10% годовых, на условиях начисления сложного процента вносить 100 рублей, то в первый год они принесут 10 руб. прироста (10% от 100руб.). В конце первого года остаток на счете составит 110рублей.

Если вся сумма в 110руб. будет в течение второго года оставаться на депозите, то к концу года процент составит уже 11руб., а остаток – 121рубль. К концу третьего года прирост будет равен 12,1руб., а остаток – 133,1рубля. Пример расчета накопленной суммы представлен в табл. 3.

Таблица 3

Расчет накопленной суммы по сложному проценту

Год	Сумма вклада на начало года, руб.	Сумма дохода от вклада, руб.	Сумма вклада на конец года, руб.
1	100	10	100+10=110
2	110	11	110+11=121
3	121	12,1	121+12,1=133,1

Как видим, в данном случае «работает» не только первоначально вложенная сумма, но и процент от нее. Например, накопленная по простому проценту при той же ставке в течение тех же трех лет сумма составляет 1300 рублей.

Мы вновь наблюдаем изменение стоимости рубля с течением времени. При 10% ставке сложного процента сегодняшний 1 рубль эквивалентен 1,1 рубля, которые будут получены через год; 1,21 рубля – через два года; 1,33 рубля – через три года. Следовательно, в настоящий момент 1 рубль, который будет получен через год, стоит 0,91 руб.; через 2 года – 0,83 руб; через 3 года – 0,75 руб.

Исчисление сложного процента производится по формуле:

S_n = (1 + i)ⁿ,

где S_n – сумма после n периодов;

i – ставка дохода;

n – число периодов.

Таким образом, деньги имеют разную стоимость в различные периоды времени в случае, когда они приносят доход, т.е. являются капиталом.

В своей книге «Анализ и оценка приносящей доход недвижимости» Дж. Фридман и Ник. Ордуэй силу сложного процента показали на очень интересном примере: «Если бы индейцы, продавшие в 1626 году остров Манхэттен Питеру Миньюту за товары стоимостью 24 доллара, инвестировали эти 24 доллара под ежегодно накапливаемые 6%, то в 1983 году сумма этих вложений составила бы почти 26 млрд. долларов. Если бы индейцы инвестировали под ежегодно накапливаемые 7%, то остаток достиг бы астрономической суммы в 741 млрд. долларов. В то же время при 6%-ной простой ставке за тот же период времени 24 доллара превратились бы только в 538,08 доллара»[25; с.37].

Логика сложного процента очевидна: все деньги, оставленные на депозите, должны приносить процент. Более того, процент приносят только те деньги, которые оставлены на депозите. Эту инвестиционную логику необходимо твердо усвоить всем финансовым аналитикам и оценщикам.

В качестве периода накопления могут быть приняты как год, так и полугодие, квартал, месяц, день. Если начисление процентов производится один раз в год, то ставка накопления называется номинальной, если период начисления короче года – речь идет об эффективной ставке дохода. В случае, если начисление дохода производится один раз в год, при заданной ставке дохода i через n периодов 1 рубль будет равен:

S_n = (1 + i)ⁿ.

В случае, если начисления дохода производится несколько раз в году, будущая стоимость 1 рубля в конце заданного периода может быть определена следующим образом:

S_n = (1 + i/k)^nk ,

где k – количество начислений в году.

Рассмотрим, какая сумма будет накоплена на счете при условии дискретного начисления, когда интервал фиксирован, т.е. оно осуществляется один раз в год, квартал, месяц и при условии ежедневного или непрерывного накопления, (табл. 4).

Таблица 4

Рост 1 рубля при различных периодах накопления (номинальная ставка 12%)

Период накопления	Методика	Сумма к концу периода, руб.
Год	(1 + i)ⁿ = (1 + 0,12)¹	1,12
Полугодие	(1 + i/2)²ⁿ = (1 + 0,12/2)²	1,1236
Квартал	(1 + 0,12/4)⁴	1,1255
Месяц	(1 + 0,12/12)¹²	1,1268
Неделя	(1 + 0,12/51)⁵¹	1,1273
День	(1 + 0,12/365)³⁶⁵	1,1275

Анализ данных табл.4 позволяет сделать очень важный вывод: чем чаще производится начисление, тем больше накопленная сумма.

Следует отметить, что поскольку сложный процент применяется очень часто и широко, были разработаны специальные стандартные таблицы, содержащие предварительно рассчитанные значения сложного процента для одной денежной единицы (одного рубля, доллара) при различных значениях номинальной и эффективной (ежемесячной) ставки дохода на периоды до 40 лет.

Кроме того, надо сказать о практической значимости «правила 72 х.». «Правило 72х» позволяет достаточно точно определить период, в течение которого при заданной ставке дохода происходит удвоение первоначальной суммы при условии, что весь процент и первоначальная сумма остаются на депозите или «работают». По этому правилу для расчета срока необходимо разделить число 72 на ставку процента, выраженную целым числом. «Правило 72х» достаточно хорошо срабатывает при ставках от 3 до 18%.

Например, при сложной ставке 6% денежная сумма удвоится за 12 лет (72:6 = 12); при ставке 9% деньги удвоятся за 8 лет (72:9 = 8). «Правило 72х» действует и в «обратном направлении». Если известно, что за 6 лет 10000 рублей превратились в 20000 рублей, то сложная годовая ставка составит 12% (72:х = 6).

В практике финансовых вычислений используется шесть функций сложного процента.

Первая функция сложного процента – накопленная сумма денежной единицы.

Данная функция позволяет определить будущую стоимость денежной единицы при заданной ставке дохода, т.е. показывает рост денежной единицы, положенной на депозит, при накоплении процента. Процент начисляется на сумму первоначального депозита и ранее полученного процента.

Графически функция представлена на рис. 1.