Задание 1

Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?

1. (1) и (2). 2. (1) и (2).

3. (1) и (2). 4. (1) и (2).

5. (1) и (2).

6. (1) и (2).

7. (1) и (2).

1.4. Теоремы о равносильности уравнений

При решении уравнений выполняются преобразования, основанный на теоремах о равносильности уравнений.

Теорема 1. Уравнения

= (1)

и

= (2)

равносильны, если функция определена на множестве всех допустимых значений неизвестных уравнения (1).

Замечание. Если определена не при всех допустимых значениях неизвестных уравнения (1) и теряет смысл при каких-либо системах значений неизвестных, являющихся решением уравнения (1), то при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произойдет потеря корней.

Примеры: 1) Дано уравнение которое имеет только один корень

а) прибавим к обеим частям уравнения функцию теряющую смысл при . Получим уравнение не равносильное данному, так как не является его корнем.

б) Прибавим к обеим частям уравнения функцию теряющую смысл при

Получим уравнение равносильное данному, так как оно тоже имеет только один корень

2) Дано уравнение областью допустимых значений неизвестного является множество всех действительных чисел .

Уравнение имеет два корня: и

Прибавим к обеим частям данного уравнения функцию область определения которой

Получим уравнение не равносильное данному, так как не является его корнем.

Теорема 2. Уравнения

= (1)

и

= (2)

равносильны, если функция определена и отлична от нуля на множестве всех допустимых значений неизвестных уравнения (1).

Замечание. Если условия теоремы, касающиеся функции , не выполняются, то уравнение (2) может быть не равносильно уравнению (1). Может произойти потеря решений, если теряет смысл при каких-либо системах значений неизвестных, являющихся решениями уравнения (1).

Уравнение (2) может иметь посторонние решения для уравнения (1), если при некоторых допустимых системах значений неизвестных равна нулю, но эта система значений неизвестных не является решением уравнения (1).

Примеры. Дано уравнение множеством допустимых значений x является множество всех действительных чисел Уравнение имеет два корня: и

а) Умножим обе части данного уравнения на теряющую смысл при и Получим уравнение не равносильное данному, так как оно имеет только один корень Умножение обеих частей данного уравнения на привело к потере корня .

б) Умножим обе части данного уравнения на теряющую смысл при Получим уравнение равносильное данному, так как оно имеет два корня: и

в) Умножим обе части данного уравнения на обращающуюся в нуль при Получим уравнение не равносильное данному, так как оно имеет три корня: , и

Умножение обеих частей данного уравнения на привело к появлению постороннего корня