
- •167 Рациональные алгебраические уравнения
- •I. Рациональные алгебраические уравнения 5
- •6.5. Дробно-рациональные уравнения 118
- •I. Рациональные алгебраические уравнения
- •11. Равносильность уравнений
- •Ответ на этот вопрос дает теория равносильности уравнений
- •1.2. Равносильность уравнений на множестве
- •На множестве натуральных чисел
- •На множестве действительных чисел
- •На множестве действительных чисел
- •На множестве натуральных чисел
- •На множестве действительных чисел
- •На множестве целых чисел
- •1.3. Равносильность при тождественных преобразованиях
- •Обратите внимание на ниже приводимый пример! в таких примерах абитуриенты и учащиеся очень часто допускают ошибки!
- •Задание 1
- •1.4. Теоремы о равносильности уравнений
- •Равносильны ли уравнения на множестве действительных чисел?
- •Задание 2
- •Выводы Появление посторонних корней возможно в следующих случаях
- •Потеря корней возможна в следующих случаях
- •1.5. Приемы решения уравнений, позволяющие отбрасывать посторонние корни и избежать потери корней*
- •1.5.1. Дробно-рациональные уравнения
- •1.5.2. Иррациональные уравнения
- •Замена иррационального уравнения смешанной системой
- •Проверка
- •Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень
- •Проверка
- •1.5.3. Логарифмические уравнения
- •Проверка
- •Проверка
- •Проверка
- •Задание 3
- •2. Линейные уравнения с параметрами
- •Возможные случаи решения линейных уравнений с параметрами
- •Задание 1
- •Упражнения
- •3. Линейные уравнения, содержащие знак абсолютной величины
- •3.1. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Задание 2
- •Упражнения
- •4. Для любителей и знатоков. Кусочно-линейные функции и модули
- •Построение графиков функций вида
- •Упражнения
- •4. Решение и исследование квадратных уравнений
- •4.1. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами
- •Теорема Виета
- •Знаки корней приведенного квадратного уравнения
- •Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
- •4.2. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно параметров
- •Задание 1
- •4.3. Определение коэффициентов уравнения по зависимости между корнями
- •Решение
- •Задание 2
- •4.4. Установление зависимости между корнями двух уравнений. Еще один способ решения квадратного уравнения
- •Задание 3
- •4.5. Решить уравнения на множестве действительных чисел
- •Задание 4
- •4.6. Аналитическое и графическое решение квадратных уравнений, содержащих модули
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Задание 5
- •4.7. Для любителей и знатоков. Решение уравнений повышенной трудности
- •Задание 6
- •Упражнения
- •5. Решение алгебраических уравнений выше второй степени
- •5.1. Многочлены и их корни
- •5.2. Деление многочленов
- •5.2.1. Схема деления углом
- •5.3. Корни многочлена
- •5.4. Схема Горнера
- •Задание
- •5.5. Возвратные уравнения
- •5.6. Возвратные уравнения второго рода
- •Задание 1
- •5.7. Возвратные уравнения нечетной степени
- •5.8. Уравнения, приводящиеся к возвратным
- •Задание 2
- •6. Частные методы решения алгебраических уравнений
- •Задание 3
- •6.2. Уравнения с параметрами
- •6.3. Решение уравнений вида , где - четное
- •Задание 4
- •6.4. Метод введения нового неизвестного (новой переменной)
- •Задание 5
- •6.5. Дробно-рациональные уравнения
- •Задание 6
- •6.6. Разные уравнения
- •Задание 7
- •7. Аналитическое и графическое решение уравнений
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Аналитическое решение
- •Графическое решение
- •Задание 8
- •8. Некоторые нестандартные способы решения уравнений
- •9. Трехчленные уравнения
- •9.1. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям
- •9.1.2. Исследование биквадратного уравнения
- •2. Биквадратное уравнение имеет один действительный корень, если:
- •3. Биквадратное уравнение имеет два действительных, равных по модулю, но противоположных по знаку, отличных от нуля корня, если:
- •Задание 1
- •9.1.2. Зависимости между корнями уравнения и его коэффициентами
- •Задание 2
- •10. Трехчленные кубические уравнения
- •Не всегда этот метод может дать положительный результат!
- •Задание 1
- •10.2. Полные кубические уравнения
- •Задание 2
- •11. Для любителей и знатоков
- •11.1. Решение кубических уравнений по формуле Кардано
- •11.2. Кубические уравнения с действительными коэффициентами
- •Задание 1
- •11.3. Уравнения четвертой степени
- •Замечания об уравнениях высших степеней
- •Упражнения
- •Ответы к заданиям и упражнениям к заданию 1, стр. 15
- •Ответы к заданиям и упражнениям главы "Трехчленные уравнения" Ответы к разделу 7 а "Трехчленные кубические уравнения" к заданию 1
- •К заданию 3
- •Литература
К заданию 3
1)
один корень: x = -3;
2)
один корень: x = -0,804415;
примеры:
3)
один корень: x = 8; задание
4;
4)
три корня;
5)
один корень: x = -0,32748;
упр.
6)
один корень: x = 2; упр.
7)
один корень: x = 2;
8)
три корня; примеры;
9)
три корня; задание 4;
10)
два корня: x = -6; x
= 3;
Литература
С. Е. Ляпин, И. В. Баранова, С. Г. Борчугова “Сборник задач по элементарной алгебре”, Москва “Просвещение”, 1973 г.
“Сборник задач по математике для поступающих в вузы”, под редакцией проф. А. И. Прилепко, Москва “Высшая школа”, 1982 г.
Ю. В. Нестеренко, С. Н. Олехник, М. К. Потапов “Задачи вступительных экзаменов по математике”, Москва “Наука”, 1983 г.
В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин “Лекции и задачи по элементарной математике”, Москва “Наука”, 1971 г.
Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов. и. Шварцбурд “Алгебра и математический анализ” для 11 класса, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики, Москва “Просвещение”, 1993 г.
“Пособие по математике для поступающих в вузы”, под ред. Г. Н. Яковлева, Москва “Наука”, 1985 г.
“Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы”, под редакцией М. И. Сканави, учебное пособие, 1994 г.
О. Н. Доброва “Задания по алгебре и математическому анализу”, Москва “Просвещение”, 1996 г.
В. Б. Лидский, Л. В. Овсянников, А. Н. Тулайков, М. И. Шабунин “Задачи по элементарной математике”, Москва “Наука”, 1965 г.
И. Ф. Шарыгин, В. И. Голубев “Факультативный курс по математике”, Москва “Просвещение”, 1991 г.
М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко “Математика для абитуриента”, Москва, НТЦ “Университетский”, 1994 г.
Б. М. Ивлев, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, С. И. Пиварцбурд “Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа”, Москва “Просвещение”, 1990 г.
“Практикум абитуриента”. Алгебра и тригонометрия. Под ред. А. А. Егорова, приложение к журналу “Квант”, 3, 1995 г., Москва, 1995 г., бюро “Квантум”.
В. В. Зорин “Пособие по математике для поступающих в вузы”, Москва “Высшая школа”, 1965 г.
А. Я. Симонов, д. С. Бакаев, А. Г. Эпельман и др. “Система тренировочных задач и упражнений по математике”, Москва “Просвещение”, 1991 г.
Г. А. Гальперин, А. К. Толпыго “Московские математические материалы”, под ред. А. Н. Колмогорова, Москва “Просвещение”, 1986 г.
Журналы “Квант”, 1/1972, 3/1975, 4/1975, 7/1976, 5/1987, 6/1987, 1/1990, 2/1991, 3/1991, 5/1991, 1/1995, 2/1995, 3/1995.
Журналы “Математика в школе”, 3/1991, 1/1992, 1, 2, 3, 4, 5, 6/1993.
* Более подробно решение уравнений и соблюдение равносильности преобразований будет рассмотрено ниже в соответствующих главах
1