Аналитическое решение

Область допустимых значений: .

По определению модулю, получим совокупность двух уравнений:

Все три корня входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Графическое решение

Построим графики функций , y = 2 и найдём абсциссы их точек пересечения.

Преобразуем выражение, находящееся под знаком модуля функции

.

Для этого снова воспользуемся методом неопределённых коэффициентов.

.

Получим систему уравнений:

Получим функцию: .

Этапы построения графика этой функции:

1) строим график функции для положительных значений аргумента, т. е. одну (правую) ветвь гиперболы;

2) достроим симметричную ей кривую относительно оси Oy и получаем график функции ;

3) выполним параллельный перенос этого графика вдоль оси Ox на 1 вправо, получим график функции ;

4) полученный график перенесём параллельно самому себе вдоль оси Oy на 3 единицы вверх, получим график функции ;

5) зеркально отразим в оси Ox ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, получим график функции .

Графиком функции y = 2 является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0; 2) на оси Oy.

Абсциссы их точек пересечения являются решениями уравнения (см. рис. 55).

Рис. 55

Ответ: .

Задание 8

Решите аналитически и графически уравнения:

1) , 2) , 3) .

8. Некоторые нестандартные способы решения уравнений

Пример 1. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: , .

Вычтем из обеих частей уравнения выражение , получим:

.

Вынесем за скобки в первых трёх членах, уравнение примет вид:

.

Замечаем, что в скобках находится полный квадрат разности двух выражений: 1 и .

. Положим , тогда , получим уравнение . Получим совокупность двух уравнений:

Ответ: .

Пример 2. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение: ,

,

.

Разделим обе части уравнения на . Это сделать можно, так как , в противном случае (т. е. при x = 3), мы получим ложное равенство 81 = 0.

В результате деления, получим:

. Положим , получим квадратное уравнение .

- это уравнение корней не имеет.

Ответ: .

Пример 3. Выяснить, при каких действительных значениях x и y имеет место равенство

.

Решение

1-й способ

Преобразуем левую часть уравнения:

,

,

,

. Следовательно, , откуда x = 1, y = -1.

2-й способ

Расположим в левой части слагаемые по убывающим степеням x, получим квадратное уравнение относительно x: .

Это уравнение при действительных значениях y имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, т. е.

.

Это неравенство после раскрытия скобок принимает вид . Последнее возможно лишь при y = -1, а тогда из уравнения следует, что x = 1.

Ответ: x = 1, y = -1.

9. Трехчленные уравнения

9.1. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям

Трехчленное уравнение вида где n > 2 - натуральное число, , при помощи подстановки сводится к квадратному уравнению

.

Частным видом трехчленного уравнения является биквадратное уравнение

.