На множестве натуральных чисел
Первое
уравнение имеет один корень:
Второе
уравнение
имеет на этом множестве также один
корень:
.
(Второе значение
не входит в множество натуральных
чисел).
Ответ: равносильны.
На множестве действительных чисел
Первое
уравнение имеет один корень:
Второе
уравнение имеет два корня:
-
уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.
3.
и
на множестве действительных чисел?
Решение
Первое
уравнение имеет один корень:
Второе
уравнение имеет два корня:
- уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.
4.
и
на множестве действительных чисел?
Решение
Первое уравнение на этом множестве имеет два корня:
Второе уравнение имеет на нем также два корня:
N = M - уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.
5.
и
на множестве действительных чисел?
Решение
Первое
уравнение на этом множестве имеет один
корень:
Второе уравнение имеет два корня:
- уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.
6.
и
на множестве действительных чисел? на
множестве натуральных чисел?
Решение
На множестве действительных чисел
Первое уравнение на этом множестве имеет один корень:
Второе уравнение имеет три корня:
- уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.
На множестве натуральных чисел
Первое уравнение на этом множестве имеет один корень:
Второе уравнение имеет три корня:
-
уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.
7.
и
на множестве рациональных чисел? на
множестве действительных чисел?
Решение
И
первое и второе уравнения не имеют
действительных корней:
и
,
значит на множестве рациональных и на
множестве действительных чисел
- уравнения равносильны.
Ответ: равносильны на множестве рациональных и на множестве действительных чисел.
8.
и
на множестве действительных чисел? на
множестве целых чисел?
Решение
На множестве действительных чисел
Первое
уравнение имеет два корня:
Второе
уравнение имеет также два корня:
M = N - уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.
На множестве целых чисел
Первое уравнение имеет два корня:
Второе уравнение имеет также два корня:
M = N - уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.
1.3. Равносильность при тождественных преобразованиях
При замене одного уравнения другим, более простым часто приходится выполнять тождественные преобразования. Всегда ли при выполнении тождественных преобразований получим уравнение, равносильное данному.
Пусть дано уравнение
= , (1)
с
множеством допустимых значений
неизвестных
После выполнения тождественных
преобразований в одной или в обеих его
частях получили уравнение
= , (2)
с
множеством допустимых значений
неизвестных
Если при этом:
1)
то уравнения (1) и (2) равносильны.
2)
- множество допустимых значений
"расширилось",
тогда уравнение (2) может иметь посторонние
для уравнения (1) корни, принадлежащие
множеству
если таких решений не окажется, то
уравнения (1) и (2) равносильны.
3)
- множество допустимых значений "сузилось"
, тогда в множестве решений уравнения
(2) могут не войти решения уравнения (1),
принадлежащие множеству
если потери решений не произойдет, тогда
уравнения (1) и (2) равносильны.
4)
с одной стороны, обогащается новыми
значениями, а с другой стороны, теряет
некоторые из них, тогда уравнение (2)
может быть неравносильно уравнению (1)
как в силу потери корней, так и приобретения
решений, посторонних для уравнения (1).
Примеры нарушения равносильности уравнений, вызванных тождественными преобразованиями.
1)
(1) и
(2)
Решение
Область допустимых значений уравнения (1):
или
Область допустимых значений уравнения (2):
см.
рис. 1.
Рис. 1
Тождественное преобразование расширило область допустимых значений - множество значит возможно появление посторонних корней.
Проверим
это. Уравнение (1) и (2) имеют корни
Уравнению
(1) удовлетворяет только один корень
Уравнению
(2) удовлетворяют два корня
Причем
принадлежит множеству
,
т. е. как раз тому множеству, на которое
расширилось множество
Таким образом, в результате тождественных
преобразований, произошло расширение
области допустимых значений переменной
x
и появился посторонний корень.