5.4. Схема Горнера

Пусть дан многочлен , который надо разделить на двучлен x - x₀.

Для этого, коэффициенты данного многочлена запишем в верхней строке таблицы.

		...
		...
		...			остаток

Во второй строке записывается произведение на предыдущие коэффициенты частного.

В третьей строке записываются коэффициенты частного и остаток.

Как получаются коэффициенты частного?

Обозначим коэффициенты частного: .

Нижние индексы у коэффициентов частного на единицу меньше, чем у делимого. И это понятно, потому что в частном получится многочлен степени на 1 меньшей, чем у делимого. Так, если у делимого наивысшая степень была 5 и был член, содержащий , то в частном будет самая высокая степень 4 и старший коэффициент частного: .

Посмотрим, как это делается на примерах.

Пример 1. Найти частное и остаток от деления многочлена

на x - 3.

Решение

В верхней строке таблицы записываются коэффициенты данного многочлена в порядке убывания их индексов, а в правом уголке (можно в левом, дело вкуса) записывается число 3. Надо заметить, что члена, содержащего нет, значит, коэффициент при этом члене равен нулю - этот ноль записывается в таблицу. Об этом следует помнить.

2	0	-13	5	-11	-6	3
2	0 + = 6	-13 + = 5	5 + = 20	-11 + = 49	-6+ =141

Получаем частное ; остаток или значение многочлена в точке x = 3 равно P(3) = 141.

Ответ: частное ; остаток или значение многочлена в точке x = 3 равно P(3) = 141.

Пример 2. Найти частное и остаток при делении на x + 2.

Решение

1	0	0	-3	7	2	- 2
1	0 = -2	0 = 4	-3 = -11	7 = 29	2 - 58 = -56

Ответ: частное: ; остаток: -56 (значение многочлена в точке -2).

Пример 3. Найти частное и остаток при делении на .

Решение

2	7	-2	-13	6	1
2	7 + = 9	-2 + = 7	-13 + 7 = -6	6 - 6 = 0

Ответ: частное: ; остаток равен нулю, значит данный многочлен делится без остатка на x - 1.