7.3.2 Решение прямой задачи при позиционном управлении

Позиционное управление обеспечивает движение схвата от одной фиксированной точки к другой с остановкой в каждой точке. Поэтому с теоретической точки зрения достаточно рассмотреть движение между двумя соседними точками, одну из которых, где схват находится в данный момент времени, назовем начальной, а другую, куда схват должен переместиться, – конечной.

Будем считать, что для решения прямой задачи при позиционном управлении известны значения обобщенных координат, соответствующие начальному и конечному положениям схвата, т.е. известны значения q_i^н и q_i^к , i = 1...n.

Прямая задача кинематики в этом случае разделяется на две подзадачи:

1-я подзадача: Планирование траекторий в пространстве обобщенных координат. Решение этой подзадачи дает возможность определить положения каждого звена манипулятора относительно предшествующего ему звена в каждый момент времени, т.е. определить обобщенные координаты в функции времени:

q_i = q_i (t) (i = 1, . . . , n).

2-я подзадача: Определение траектории движения схвата и его ориентации (а при необходимости и всех других характерных точек и звеньев манипулятора) при его движении от начальной точки к конечной.

Вторая подзадача решается с использованием зависимости (9) с учетом того, что в каждой матрице Т_{i-1, i} (см. формулу (5)) элементы являются функциями одной обобщенной координаты q_i:

q_i (t) = _i (t), если кинематическая пара вращательная;

S_i (t), если кинематическая пара поступательная.

Перепишем выражение (8) в виде

Т_0,n (t) = Т_0,1 [q₁ (t)] ∙ Т_1,2 [q₂ (t)] ∙ Т_2,3 [q₃ (t)] . . . Т_{n-1, n}[q_n (t)] ,

из которого определим значения шести наддиагональных элементов

- а₁₂(t) а₁₃(t) а₁₄(t)

- - а₂₃(t) а₂₄(t)

- - - а₃₄(t) = Т_0,1[q₁ (t)] . . . Т_{n-1, n}[q_n(t)] . (9)

0 0 0 1

Понятно, что каждый элемент этой матрицы – есть функция обобщенных координат манипулятора, т.е. а_j,l = а_j,l(q₁, . . . , q_n; t) (j = 1, 2, 3; l = 2, 3, 4).

Таким образом, решение 2-й подзадачи есть решение основной прямой задачи манипулятора, и она решается по изложенному ранее алгоритму, если известны зависимости

q_i = q_i (t) ; 0 t  Т ,

определяемые при решении первой подзадачи (здесь Т – заданное время движения схвата от начальной точки к конечной).

Решение 1-й подзадачи начинается с выбора общего вида закона движения звеньев по обобщенной координате.

Наибольшее распространение получили два закона движения.

1. Прямоугольный закон изменения ускорений при движении по обобщенной координате. Для прямоугольного закона характерно минимально возможные при данной длительности интервалов разгона и торможения значения ускорений, а следовательно, и сил инерции при движении одного звена относительно другого. Однако в начале и конце интервалов разгона и торможения возникают, так называемые “мягкие” удары, связанные с мгновенным изменением ускорений в указанные моменты.

Примечание: “жесткие” удары появляются при мгновенном изменении скорости, т.е. при ускорении, равном бесконечности.

2. Синусоидальный закон изменения ускорения при движении по обобщенной координате, обеспечивающий плавную (безударную) работу привода i-го звена.

Р ассмотрим названные законы движения подробнее.

При движении i-го звена относительно (i-1)-го по прямоугольному закону (рис. 195) i-е звено на интервале t_pi разгоняется под действием постоянного усилия, которое обеспечивает постоянное ускорение . При достижении максимальной постоянной скорости ускорение принимает значение, равное 0, а усиление привода тратиться на преодоление сил трения и нагрузки.

На интервале торможения t_pi работают устройства торможения, которые развивают постоянное силовое воздействие для обеспечения отрицательного ускорения . Длительности интервалов разгона t_pi, движения с постоянной скоростью t_пi и торможения t_тi связаны зависимостью

t_pi + t_пi + t_тi = Т,

где Т – заданное время движения от начальной точки позиционирования схвата к конечной.

Поэтому произвольно можно назначать лишь длительности двух интервалов, например t_pi и t_тi. Для обеспечения наибольшего быстродействия робота следует принять t_pi = t_тi = 0,5Т. В этом случае в первую половину интервала движение i-го звена будет равноускоренным, а во вторую – равнозамедленным.

Так как в конце интервала разгона и в начале интервала торможения скорость i-го звена одинакова, то

значит (10)

При выбранных длительностях интервалов разгона и торможения необходимо найти такую величину ускорения , при которой бы звено за заданное время Т переместилось из начальной точки в конечную.

По графику перемещения i-го звена можно записать уравнение связи:

Откуда с учетом зависимости (10) получим

После определения обобщенных ускорений и по известным зависимостям можно определить обобщенные скорости и обобщенные координаты q_i i-го звена в любой момент времени:

– на участке разгона: (0  t  t_рi)

.

– на участке движения с постоянной скоростью: (t_рi  t  t_рi+ t_пi); .

– на участке торможения: (t_pi + t_пi  t  Т),

;

.

Итак, получены зависимости q_i = q_i (t) и при 0  t  Т, подставляя которые в (9) можно определить положение схвата в любой момент времени и в целом получить траекторию движения.

Рассмотренный закон движения представляет собой простейший пример использования сплайн-функций для описания относительного движения звеньев по обобщенным координатам.

Рассмотрим полученную функцию именно как сплайн-функцию, т.е. как кусочно-непрерывную функцию, составленную из нескольких отрезков некоторых непрерывных функций.

График требуемой функции перемещения q_i и графики ее производных и должны пройти через восемь фиксированных точек (рис. 195), которые можно использовать в качестве граничных условий при проектировании закона движения. Сформулируем граничные условия:

t = 0; 1) q^р_i(0) = q^н_i ; 2) ;

t = t_pi; 3) q^р_i (t_p) = q^п_i (t_п) ; 4) ;

t = t_рi + t_пi; 5) q^п_i (t_р+ t_п) = q^T_i (t_рi+ t_пi); 6) ;

t = T; 7) q^T_i (T) = q^к_i; 8) .

Для удовлетворения этих граничных условий надо в аналитическом выражении q_i(t) иметь восемь свободных коэффициентов, что будет выполнено, если принять:

.

Продифференцируем необходимое число раз приведенные полиномы и получим еще четыре уравнения:

(t) = 2а₂t+ а₁;

(t) = 2а₂;

(t) = b₁;

(t) = 2с₂t+ с₁.

Значения коэффициентов a₀, a₁, a₂, b₀, b₁, c₀, c₁ и c₂ определяются по граничным условиям из решения системы приведенных выше уравнений.

Подставляя полученные значения этих коэффициентов в исходные полиномы и их производные, найдем все необходимые зависимости для расчета обобщенных координат, скоростей и ускорений, аналогичные ранее полученным из других предпосылок.

Заметим, что по различным степеням подвижности значения интервалов разгона, движения с постоянной скоростью и торможения в общем случае могут быть различны.

Для обеспечения плавной безударной работы привода используют законы движения, в которых ускорение плавно изменяется от нуля в начале интервала разгона до некоторой максимальной величины, а затем плавно убывает от нуля. Одним из наиболее распространенных законов такого типа является синусоидальный закон. Для установления зависимостей между длительностями интервалов движения, величинами обобщенных ускорений, скоростей и перемещений здесь удобно использовать диаграмму обобщенных скоростей :

.

Дифференцируя это выражение, получим функции для обобщенных ускорений . Интегрируя же эту зависимость от 0 до Т и приравнивая результат к полному перемещению за время T по обобщенной координате q_i, равному q^к_i – q^н_i , находится постоянная интегрирования , а после этого и зависимость q(t).

Полученные законы движения являются по сути сплайн-функциями, т.е. функциями, составленными из отрезков нескольких простейших функций, имеющих касание друг с другом того или иного порядка.