Один из углов между прямыми определяется условием:

а второй угол равен .

Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнением , определяется равенством:

13. Эллипс. Его характеристики.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое уравнение эллипса: (1)

Параметр b² определяется равенством b² = a² – c². Эллипс симметричен относительно обеих осей координат. Эллипс пересекает ось Ox в двух точках: A(a;0) и A₁(-a;0) ,пересекает ось Oy в двух точках: B(0; b) и B₁(0; -b) . Эти четыре точки называют вершинами эллипса. Отрезок A₁A называется большой осью эллипса, а отрезок B₁B – его малой осью. Здесь a > b.

Уравнение (1) можно рассматривать и в случае a < b. Тогда оно определяет эллипс с большой полуосью OB = b, фокусы такого эллипса лежат на оси Oy.

В случае, когда a=b, уравнение (1) имеет вид x² + y² = a² и определяет окружность радиуса а, с центром в начале координат. В этом случае c = 0.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси, т.е. .

Поскольку с < a, то для любого эллипса , причем случай соответствует окружности.

Геометрически характеризует степень сжатия эллипса: чем больше , тем больше вытянут эллипс.

Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Если эллипс задан каноническим уравнением (1), то уравнения директрис имеют вид

и .

14. Гипербола. Ее характеристики.

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a<|F₁ F₂|.

Канон. уравнение гиперболы: , где .(1)

Гипербола пересекает ось Ox в двух точках: A(a;0) и A₁(-a;0), называемых вершинами гиперболы. Отрезок A₁A = 2a называется действительной осью гиперболы, а отрезок B₁B=2b – мнимой.

Прямые называются асимптотами гиперболы, к которым приближаются ветви гиперболы при увеличении х по абсолютной величине. Эксцентриситетом гиперболы называют отношение . Чем меньше , т.е. чем ближе к единице, тем больше вытянут основной прямоугольник по оси Ох.

Если у гиперболы a=b, то она называется равносторонней и ее уравнение принимает вид x² – y² = a². Асимптотами этой гиперболы являются взаимно перпендикулярные прямые .

Уравнение (2)

определяет гиперболу с действительной осью Oy.

Гиперболы, определяемые уравнениями (1) и (2) в одной и той же системе координат с одинаковыми значениями и , называются сопряженными.

Две прямые, заданные уравнениями и , называют директрисами гиперболы. Правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, а левая  – между центром и левой вершиной гиперболы.