12.Определение устойчивости по корням характеристического уравнения.

13.Теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова — теорема в теории вероятностей, устанавливающая некоторые общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону.

Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым и составляют содержание теоремы, названной его именем.

Пусть с  ,… последовательность попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями M  и дисперсиями D  , причём эти величины обладают следующими двумя свойствами:

1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство  , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

2) Сумма   неограниченно растёт при 

Тогда при достаточно большом n сумма   имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть   и   математическое ожидание и дисперсия случайной величины  . Тогда

Где   — интеграл вероятности.Ξερω/

14. Частотные характеристики.

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

,         n >= m.

(2.40)

Формально обобщенная частотная характеристика   может быть получена из передаточной функции заменой p на 

(2.41)

и представлена в виде

.

(2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики   имеют самостоятельное значение и следующие названия:

•  вещественная частотная характеристика (ВЧХ),

•  мнимая частотная характеристика (МЧХ),

•  амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

•  фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика  по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу  , при изменении   от 0 до   прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

Для определения   числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

,

тогда  , где знак "+" относится к i=1,2,...,l (числителю передаточной фунции), знак "-" -к i=l+1,...,L (знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых   определяется выражением

где  .

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)

,

(2.43)

Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть  , выраженную в декадах (дек).

Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики

В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:

Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики

Пример 2.8.

ЛФХ, реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:

.

(2.44)

.

Рис. 2.9. Реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы

.

Рис. 2.10. ЛФХ системы