5. Виды статических ошибок (вывод формул).

Поскольку главная обратная связь в системе отрицательная, то можно найти формулу статической ошибки уравнения (ε)

1. Если все элементы имеют К, то в такой системе есть статическая ошибка

2. Чем больше приращение управления, тем больше … ε уменьшается при увеличении К в установившейся системе.

К _z – коэффициент по возмущению.

- без цепи

- статическая ошибка по возмущению

Статическая ошибка по возмущению, так же как и статическая ошибка по управлению уменьшается при увеличении К_z рабочей системы.

6. Астатические элементы и системы.

Астатические системы автоматического регулирования от статических систем отличаются отсутствием в статическом стационарном режиме статической ошибки регулирования зависящей от величины нагрузки. Ошибка регулирования в астатических системах является постоянной по величине и определяется лишь порогом чувствительности контура регулирования.

Для обеспечения астатического регулирования в контуре регулирования необходимо устранить жесткую зависимость между положением регулирующего органа и значением регулируемой величины. В этом случае регулируемую величину можно поддерживать постоянной при любой допустимой нагрузке. Для этого в контур регулирования необходимо включить астатическое звено.

- характеристическое уравнение

Замкнутая система автоматического управления устойчива, если главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры больше 0.

Для устойчивости системы положительность всех коэффициентов является необходимым условием, но для систем выше 2-го порядка это условие не является достаточным.

Дополнение к критерию Гурвица: система находится на границе устойчивости, если предпоследний элемент диагонали равен 0, а остальные диагонали минора больше 0.

7. Методы описания динамики линейных систем автоматического управления.

А) Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение наиболее общий инструмент описания системы связанных физических элементов, образующих техническое устройство или объект, способной воспринимать внешнее воздействие x(t) и характеризуемую некоторой выходной величиной y(t), известным образом зависящей от воздействия x(t). Все остальные методы описания систем прямо или косвенно вытекают из дифференциального уравнения или опираются на него.

Дифференциальное уравнение универсально и может описывать систему, как в режиме реального времени, так и апостериорно.

Напомним, как решаются дифференциальные уравнения. Рассмотрим для примера уравнение

Здесь x = x(t) задаваемое в текущем режиме или полностью известное на всем временном интервале входное воздействие на систему, а y = y(t) – искомая реакция системы на воздействие. Коэффициенты уравнения определяются моделируемой системой.

Для однозначного решения (2.1) должны быть заданы начальные условия: значения решения y(0) и его производной y’(0) по времени в начальный, например нулевой, момент времени. В физической системе эти значения определяются энергией, содержащейся в этот момент времени в элементах, способных ее накапливать, например, в электрических емкостях и индуктивностях, пружинах, подвижных массивных деталях и т.п. Кроме того, должно быть задано и входное воздействие x(t). Входным воздействием может быть произвольный сигнал, в том числе, например, пробный: ступенчатая единичная функция или синусоидальный сигнал x(t) = sin(ωt + φ), или более сложные сигналы, изменение которых во времени заранее не известно. Известными считаются и коэффициенты в (2.1), которые определяются составом и свойствами системы и, в свою очередь, характеризуют ее модель.

Методы решения дифференциальных уравнений разделяются на аналитические и численные, а кроме того, такие уравнения можно решать на аналоговых и квазианалоговых (виртуальных) вычислительных машинах. Аналитические методы дают в результате решения формулы для y(t) и используются для решения уравнений в случае известных заранее воздействий. Если входное воздействие не известно заранее и его значения поступают с течением времени от некоторого источника, то уравнение может решаться либо численно, либо на аналоговой машине.

В случае известного заранее воздействия x(t), решение (2.1) можно получить аналитически. Его удобно представлять в виде суммы принужденной y_пр(t) и свободной y_св(t) составляющих:

поскольку их легко разделить и найти по отдельности.

В устойчивых системах y_св(t) затухает с течением времени, поэтому при относительно больших значениях t, при условии, что воздействие достаточно гладкое, т.е. оно и ее младшие производные не содержат скачков (разрывов первого рода) [1], выходной сигнал системы приближается к принужденному

Математики говорят, что это частное решение неоднородного уравнения (2.1). Решение (2.3) позволяет найти принужденную компоненту как выходной сигнал при больших значениях времени, экстраполировать его на весь временной интервал, а потом найти и свободную составляющую:

Математики называют (2.4) общим решением однородного уравнения (это (2.1), в котором правая часть равна нулю).

Свободная компонента

определяется корнями p_k характеристического полинома A(p):

(2.6)

системы, составляемого по левой части дифференциального уравнения (2.1), а также начальными условиями y(0) и y’(0) и видом воздействия x(t), в том числе его значениями в нулевой момент времени x(0), позволяющими найти коэффициенты С1 и С2.

Рис.2.2. Решение y(t) дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях и известном заранее воздействии x(t) = sin(30t) ·1o(t) (синяя линия) складывается из принужденной y_пр(t) (фиолетовая линия) и свободной y_св(t) (зеленая линия) компонент. Свободная компонента решения, определяющая переходный процесс, определяется начальными условиями, характеризующими систему, описываемую дифференциальным уравнением, и поданным в нулевой момент на систему сигналом. Она затухает, в данном случае за 0.5 сек. В переходном процессе система «подстраивается» под внешнее воздействие, переходя к установившемуся режиму

Переходный процесс может быть вызван не только несоответствием начальных условий системы подаваемому воздействию, но и скачкообразными изменениями воздействия на систему и его младших производных, которые могут быть не известны заранее. Если САР, пусть и с некоторой ошибкой успевает отслеживать воздействие, то она находится в установившемся динамическом режиме. Но если она в какой-то момент не успевает отследить достаточно быстро изменяющееся воздействие, то появляется свободная составляющая, например, колебательная, связанная со свободным, не принужденным обменом энергией между ее накапливающими элементами, до затухания которой режим САР является переходным, а затем вновь становится установившимся.

Начальные условия удобнее всего приурочить к моменту подачи сигнала на систему, однако, это не обязательное требование. Начальные условия в принципе могут быть заданы и для других моментов времени, и эти моменты могут быть разными для значений выходного сигнала и его младших производных.

Если воздействие на систему, описание которой осуществляется дифференциальным уравнением, поступает в реальном времени и, следовательно, прогнозировать его не возможно, то понятия свободная и принужденная составляющие решения уравнения теряют смысл, поскольку они не могут быть найдены в текущем времени по отдельности, однако понятия переходный и установившийся режим могут использоваться и в таком случае.

Дифференциальное уравнение при полностью известном воздействии позволяет корректно определить понятия переходного и установившегося режима, используемые в ТАУ. Эти понятия применяются для устойчивых систем:

- переходный режим – это сумма свободной и принужденной компонент решения дифференциального уравнения в пределах временного интервала, пока свободная компонента не затухнет. Практический критерий затухания – уменьшение величины амплитуды свободной компоненты в 20 раз по сравнению с максимальным ее значением;

- установившийся режим это принужденная компонента решения дифференциального уравнения, он начинается с момента затухания свободной компоненты, совпадает с принужденной компонентой решения дифференциального уравнения и длится до возникновения нового переходного режима.

Примечание. Выявить, существует ли в данный момент при работе в текущем времени, переходный режим можно по анализу отличия ошибки регулирования от ее гладкого прогноза, осуществляемого с помощью коэффициентов ошибок   . В переходном режиме эта разность будет содержать собственные колебания системы, определяемые комплексными и действительными корнями ее характеристического полинома [1].

В ряде случаев представляется удобным описание поведения системы, ее переходного и установившегося режимов с помощью т.н. фазового портрета: графического представления взаимосвязи решения дифференциального уравнения и его производной. Часто фазовый портрет применяется для изучения свободного поведения системы, находящейся в некотором начальном состоянии, но он может быть использован также и для рассмотрения поведения системы при внешнем воздействии. Для рассмотренного выше примера синусоидального воздействия на систему (2.1) ее фазовый портрет выглядит следующим образом:

Метод дифференциального уравнения позволяет численно решать задачи в текущем времени потому, что решение находится по шагам, по мере поступления воздействия.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) описывает систему с одним входом и одним выходом. Оно может быть записано и в виде системы ОДУ. Многомерные системы, имеющие несколько входов и несколько выходов, также описываются системами ОДУ. Важным частным случаем систем ОДУ, опирающимся на мощный математический матричный аппарат линейной алгебры, является представление системы ОДУ в форме Коши, что позволяет описывать техническую или физическую линейную систему переменными состояния, в частности фазовыми переменными.

Б) Пространство состояние (матричные примеры)

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение ее состояний.

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Для случая линейной системы с   входами,   выходами и   переменными состояния описание имеет вид:

где

;  ;  ;

,  ,  ,  ,  .

 — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

 — вектор выхода,

 — вектор управления,

 — матрица системы,

 — матрица управления,

 — матрица выхода и

 — матрица прямой связи.

Часто матрица   является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.

Нелинейные системы

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

или в более компактной форме:

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

Линеаризация

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки  .

В установившемся режиме   для рабочей точки   справедливо следующее выражение:

Вводя обозначения:

Разложение уравнения состояния   в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

При взятии частных производных вектор-функции   по вектору переменных состояний   и вектору входных воздействий   получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

Аналогично для функции выхода:

Учитывая  , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

где

В) Операторные уравнения (преобразование Лапласа).

Довольно часто можно встретить заблуждение, состоящее в том, что понятия комплексный коэффициент передачи (ККП) и передаточная функция это практически одно и то же, они отличаются только обозначением аргументов и поэтому области их применения одинаковы. Это происходит потому, что обычно автоматчики рассматривают линеаризованные модели САР с приращениями воздействий и реакций относительно некоторого стационарного режима. Такая модель предполагает, что начальные условия для приращений являются нулевыми.

Отметим, что и операторный и спектральный методы существует объективно. Это значит, что исследователь, даже не понимая, не думая об их существе, а следуя их алгоритмам может получать правильное решение задачи, например о переходном процессе в коммутируемой цепи.

На самом деле, ККП и передаточная функция отличаются и по смыслу, и по кругу решаемых ими задач. Если ККП это первый уровень обобщения понятия коэффициент усиления, когда учитываются зависимость величины усиления устройства от частоты усиливаемого им синусоидального сигнала, а также зависимость фазовой задержки от частоты сигнала, проходящего систему, то передаточная функция это следующий, второй уровень обобщения. Передаточная функция может все то, что может комплексный коэффициент усиления, но в добавок она позволяет учитывать и начальные условия системы, а следовательно, описывать и рассчитывать переходное процессы, связанные с рассогласованием в нулевой момент подачи воздействия на систему и ее начальным состоянием, описываемым начальными условиями.

Итак, основное практическое отличие передаточной функции от ККП состоит в том, что она позволяет учитывать начальные условия, а значит, описать и переходный процесс, связанный с этими начальными условиями. Основывается это на том, что изображение производной выходного сигнала учитывает эти самые начальные условия, в то время как ККП их не учитывает, полагая, что переходные процессы, связанные с подачей синусоид на систему закончились там же, в минус бесконечности, когда эти синусоиды начались, были поданы на систему (см. выше).

Для рассматриваемого примера (2.1) заменим в уравнении воздействие и отклик их лапласовыми изображениями. Если начальные условия не нулевые, то изображения производных включают их явно, поскольку [3]:

(3.10)

(3.11)

(3.12)

Подставив изображения выходного и входного сигналов в (2.1) получим:

(3.13)

откуда

(3.14)

где

(3.15)

и

(3.16)

где

(3.17)

Как видно, начальные условия модифицируют изображение входного сигнала добавлением к нему слагаемого Nu(p), деленного на коэффициент усиления системы, а выражение для передаточной функции W(p) действительно совпадает с точностью до обозначений с выражением для комплексного коэффициента передачи W(jω) (3.4) системы. При нулевых начальных условиях Nu(p) = 0.

Выражение (3.13) можно, ввиду справедливости принципа суперпозиции, представить в виде двух уравнений

(3.18)

и

(3.19)

На первый взгляд может показаться, что первое уравнение дает, как и комплексный коэффициент передачи, принужденную составляющую реакции системы, а второе – свободную. Но это не так. Первое уравнение, записанное для нулевых начальных условий, в общем случае имеет в решении и принужденную, и свою свободную компоненты, в то время как для второго принужденная равна нулю и решение совпадает со свободной компонентой этого уравнения, определяемой начальными условиями. Поэтому полная свободная компонента для (3.7) равна сумме свободных компонент первого и второго уравнений.

Если передаточная функция отличается от ККП только обозначением аргумента, то действительно ли операторный метод учитывает нулевые начальные условия? Да, действительно учитывает. Проиллюстрируем это рисунком:

Рис. 3.10. Выходные сигналы (красные линии) колебательного звена, заданного передаточной функцией (3.14), и их производные (синие линии) при гармонических воздействиях (коричневые пунктирные линии) с разными начальными фазами, равны нулю при t =0. Начальные условия нулевые. Виден переходный процесс. Решение получено операторным методом. Передаточная функция учитывает нулевые начальные условия (и выходные сигналы, и их первые производные в нулевой момент времени равны нулю) и определяет переходный процесс

Порядок определения реакции системы с помощью операторного метода иллюстрируется рисунком:

Что же позволяет операторному методу учитывать начальные условия? В нем предполагается, что все сигналы, подаваемые на систему, начинаются не раньше, чем в нулевой момент времени. Точнее, если использовать теорему об изображении задержанного сигнала, то область аргументов можно расширить и на отрицательные конечные значения времени, но это не изменяет существа дела. Изображение Лапласа, в отличие от спектра, использующего для представления сигнала только синусоиды, использует значительно более широкий класс элементарных сигналов, т.н. э-синусоиды, синусоиды различных частот и начальных фаз, амплитуды которых увеличиваются или уменьшаются с течением времени по экспоненциальному закону:

Операторный метод учитывает начальное, в общем случае не равное нулю значение воздействия. Поэтому есть возможность отнести начальные условия к воздействию, модифицировав его см. (3.15). Но и при нулевых начальных условиях может возникнуть переходный процесс, обусловленный несоответствием подаваемого на систему воздействия этим нулевым начальным условиям. Операторный метод работает и здесь. В этом отличие операторного метода от спектрального: начало воздействия в нулевой момент времени в общем случае приводит к переходному процессу и операторный метод должен его описать и делает это.

Рассмотрим для примера реакцию апериодического звена на синусоидальное воздействие, вычисленное различными методами: решением дифференциального уравнения, с помощью передаточной функции, т.е. операторным методом, и с помощью комплексного коэффициента передачи

Рис.3.12. Реакции апериодического звена на синусоидальные воздействия, поданные бесконечное время назад и в нулевой момент времени, вычисленные различными методами

Коричневая кривая (до t = 0 пунктирная, а затем сплошная) это воздействие x(t) = sin(10t) на апериодическое звено. Решение У_фурье(t) (синяя линия), найденное с помощью комплексного коэффициента передачи имеется на всей временной оси и не содержит переходного процесса, он закончился бесконечное время назад.

Решения У_лапл(t) и У_дифур(t) (красные сплошная и пунктирная, приподнятая для удобства сравнения на 0.1, линии) получены с помощью передаточной функции и дифференциального уравнения соответственно, для синусоидального воздействия x(t) = sin(10t)·1₀(t) (сплошная коричневая линия), включенного в нулевой момент времени, и начального условия y(0) = y0 = 1. Решения становятся отличными от нуля в положительные моменты времени, они совпадают и содержат переходный процесс. Ф(t) ≡ 1_о(t) – единичная ступенчатая функция Маткада.

Решение У_лапл0(t) (черная линия) получено с помощью передаточной функции для нулевого начального условия y(0) = 0 и содержит переходный процесс. Установившееся значение здесь такое же, как и у всех остальных решений.

Как видно, по окончании переходных процессов, к концу первой секунды, все решения совпадают (напомним, что У_дифур(t) – поднята на 0.1), т.е. дают принужденную составляющую решения дифференциального уравнения (установившийся режим).

Таким образом, передаточная функция и дифференциальное уравнение учитывают начальные условия, а комплексный коэффициент передачи не учитывает. Оно и понятно, с помощью ККП решалась задача, когда синусоида начинается в минус бесконечности, что не возможно для операторного метода, для которого сигналы начинаются в нулевой, момент времени. Изображения же, как полной синусоиды, так и синусоиды, начинающейся в нулевой момент времени совпадают и Маткад это подтверждает:

Преобразование Лапласа просто «не видит» значений сигнала при отрицательных значениях времени, даже если они там не равны нулю.

Отметим, что в операторном методе, как и в методе дифференциального уравнения можно задать начальные условия так, чтобы переходный процесс в момент подачи воздействия на систему не возник:

Рис.3.13. Реакция апериодического звена на последовательность прямоугольных импульсов при различных начальных условиях. Линия кирпичного цвета отображает реакцию нижнего апериодического звена на периодическую последовательность прямоугольных импульсов, начавшихся в минус бесконечности, тогда же начался и закончился и переходный процесс. Фиолетовая линии это реакция верхнего звена с начальным условием y(0) = 1.47259, соответствующим текущему значению выходного сигнала нижнего звена в момент времени -1.9 сек, когда на верхние звенья начинает поступать та же последовательность импульсов, что и на нижнее звено. Зеленая линия – выходной сигнал звена с нулевым начальным условием. Фиолетовая линия перешла в установившийся режим без переходного процесса, в отличие от зеленой. Для удобства сравнения фиолетовая линия приподнята, а зеленая опущена на 0.1

На рис. 3.13 анализируется апериодическое звено. Оно первого порядка, поэтому для него задается всего одно начальное условие: y(-1.9) или y(-∞). В случае звена второго порядка потребуется задавать два начальных условия, например y(0) и y’(0) , для звена третьего – три и т.д.

Если ККП характеризуется АЧХ и ФЧХ, которые можно наглядно представить графически, то с передаточной функцией обычно работают аналитически, что уменьшает наглядность этого аппарата, он воспринимается формально. Современные программные инструменты, например Маткад, позволяют представить и модуль, и аргумент передаточной функции в трехмерном пространстве:

Рис.3.14. (анимация, 4 кадра). Модуль передаточной функции апериодического звена как функция комплексного аргумента, действительная часть которого затухание, а мнимая – частота. Передаточная функция имеет полюс в точке (-5, 0j)

Это наглядно, но практически пользоваться трехмерным графиком не очень удобно.

Т.о. и спектральный, и операторный метод не определяют в явном виде раздельно принужденную и свободную составляющие решения дифференциального уравнения, но с их помощью можно находить отдельно как установившийся, так и переходный процессы, соответствующим образом поставив задачу. Например, так, чтобы установившееся значение было заведомо равно нулю. Тогда все решение даст переходный процесс. Или наоборот, задать начальные условия так, чтобы отсутствовала свободная составляющая решения. И тогда все найденное решение и будет установившимся режимом.