23.Инерционное звено 1-го порядка.

Инерционное звено первого порядка описывается уравнением:

.                           (101)

Его переходная функция (кривая разгона):

.                            (102)

Импульсная функция:

.                          (103)

Кривая разгона и импульсная переходная функция инерционного звена первого порядка приведены соответственно на рис. 30 и 31.

Рис. 30. Кривая разгона инерционного звена первого порядка

Рис. 31. Импульсная переходная функция

Преобразуем (101) по Лапласу:

.                             (104)

Передаточная функция:

.                           (105)

АФХ:

,                             (106)

,                    (107)

. (108)

Запишем   в алгебраической форме:

,  (109)

,                            (110)

.                            (111)

Графики АФХ, АЧХ, ФЧХ приведены на рис. 32, а, б, в.

Инерционными звеньями первого порядка являются конструктивные элементы, которые могут накапливать энергию или вещество, и обладающие свойством без изменения внешних воздействий приходить в установившееся состояние (самовыравниванием).

Примеры инерционных звеньев первого порядка приведены на рис. 33.

Запишем RC и LR четырехполюсников. Для емкости имеет место соотношение:

.                                  (112)

Или в преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных условиях:

.                                 (113)

Из (113) получим выражение комплексного емкостного сопротивления:

.                            (114)

Рис. 32. Частотные характеристики инерционного звена  первого порядка

Для индуктивности имеет место соотношение:

                                 (115)

или в преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных условиях:

.                                 (116)

а)

б)

Рис. 33. RС и LR – четырехполюсники – инерционные звенья  первого порядка

Из (116) получим выражение комплексного индуктивного сопротивления:

.                             (117)

Теперь запишем выражение выходного напряжения для RC – четырехполюсника:

.                              (118)

Так как

,                                  (119)

то с учетом (114) и (119) выражение (118) принимает вид:

.                                (120)

Введя обозначение T=RC, из (120) получим:

.                           (121)

Аналогично запишем выражение выходного напряжения для LC-четырехполюсника:

.                              (122)

Так как

,                                 (123)

то с учетом (117) и (123) выражение (122) примет вид:

.                       (124)

Введя обозначение  , из (124) получим:

.                           (125)

24.Звенья второго порядка.

В общем случае описываются уравнением

Перейдем к изображениям по Лапласу:

Отсюда определяем передаточную функцию:

Однако общепринята запись передаточной функции звеньев второго порядка в другом виде:

где

Звенья второго порядка, таким образом, характеризуются тремя параметрами. Это коэффициент передачи, постоянная времени и коэффициент демпфирования . В зависимости от величины коэффициента демпфирования различают типы звеньев: колебательное (0<<1), консервативное (=0) и апериодическое второго порядка (1).

Рассмотрим свойства колебательного звена. Выражения для его частотных функций имеют следующий вид:

Асимптотическая ЛАЧХ строится тем же приемом, что и для апериодического звена. В области низких частот T<<1 и в подкоренном выражении всеми членами, кроме 1, можно пренебречь. Тогда низкочастотная асимптота G()_нч принимает вид

G()_нч 20lgk.

В области высоких частот ( и в подкоренном выражении можно оставить лишь , пренебрегая остальными членами. Высокочастотная асимптота G()_вч описывается формулой:

G()_вч20lgk20lg(T)²=20lgk40lgT.

Эта асимптота имеет наклон минус 40 дБ/дек. Сопрягаются асимптоты на частоте , как показано на рис.2.17.

G() Точная ЛАЧХ

Асимптотическая ЛАЧХ

20lgk

40 дБ/дек

0 lg

lg 1/T



Рис.2.17

Точная ЛАЧХ несколько отличается от асимптотической . Максимальная ошибка - в районе около сопрягающей частоты. Для упрощенных расчетов можно считать, что наибольшая ошибка будет при :

В районе точная ЛАЧХ идет ниже асимптотической при и выше - при . При значениях ошибка становится существенной (более трех децибел) и ее необходимо учитывать, используя приведенную выше формулу либо поправочные кривые из справочной литературы.

Представление о динамических свойствах звена можно получить из переходной характеристики, представленной на рис.2.18.

h(t)

k

0 t

Рис.2.18

Примером звена второго порядка может служить колебательный контур (см. схему на рис.2.5 и вывод передаточной функции в примере 2.4).

Консервативное звено - частный случай колебательного звена, когда отсутствует демпфирование. Если обратиться к приведенному выше примеру (см. рис.2.5), то должны отсутствовать потери в контуре (выполняться условие R=0). В этом случае колебания стали бы незатухающими, и переходная характеристика описывалась бы выражением:

На сопрягающей частоте ЛАЧХ консервативного звена имеет всплеск бесконечной амплитуды, т.е. претерпевает разрыв, а ЛФЧХ из нулевого значения скачком достигает значения минус .

При   1 передаточную функцию звена второго порядка можно преобразовать следующим образом:

где

То есть апериодическое звено второго порядка не является типовым или элементарным, так как его можно представить двумя последовательно соединенными более простыми звеньями - апериодическими первого порядка.

Пример 2.7.

Определить, при каком соотношении параметров элементов схемы колебательный контур (см. рис.2.5) является колебательным звеном.

Запишем полученную в примере 2.4 передаточную функцию с использованием коэффициента демпфирования:

Отсюда выразим коэффициент демпфирования:

Звено будет колебательным, если <1, т.е.

В противном случае, т.е. при

контур будет являться апериодическим звеном второго порядка. При этом следует обратить внимание на то, что лишь с позиций математического описания схему можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Расчленить же принципиальную схему на два участка, каждый из которых был бы соответствующим апериодическим звеном первого порядка, невозможно.