15.Предел. Отнош. Синуса. К. Аргумент.

Докажем, что .Так как f(x) = является четной функцией, то рассмотрим ее только на интервале (0; ) Возьмем дугу AM единичного круга, соответствующую углу, радианная мера которого равна x. Площадь сектора OAM заключена между площадями треугольников OMA и OTA: S OMA < Sсек < S4OAT ⇔ · |OA| · |PM| < · |OA|²· x < · |OA| · |AT|. Так как |OA| = 1, |MP| = sin x, |AT| = tg x, то sin x < x < tg x ⇔ 1 < ·< ⇔ cos x < < 1. В силу четности функции cos x и последнее двойное неравенство справедливо и для интервала ( - ; 0). Таким образом, для любого x ∈( - ; 0) ∪(0; ) выполняется неравенство cos x < < 1 Переходя к пределу при

x → 0 получим

т.е. =1 – который называют первым замечательным пределом.

16 .Число е.

Пример 1. Доказать справедливость неравенства (неравенство Я. Бернулли)

Решение. Докажем, основываясь на методе математической индукции.

1. При n = 1 утверждение, очевидно, справедливо. 2. Предположим, что оно справедливо при n = k, т.е. верно (1 + α) ^k > 1 + kα.

3. Докажем, что оно справедливо при n = k+1.Действительно Согласно методу математической индукции заключаем, что утверждение справедливо ∀n ∈ N. Рассмотрим последовательность {x_n}, где Покажем, что последовательность {y_n}, где убывающая. Действительно ∀n 2, находим

Очевидно, что все члены последова-тельности {y_n} имеют положительные члены, а следова-тельно, согласно теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Тогда

Определение 1. =е

18. Предел композиции.

Теорема 11. Пусть f : X → Y , f(X) = Y , g : Y → и y₀= , y₀= =c Если существует проколотая окрестность (x₀) точки x₀, что f(x) y₀ ∀x ∈ (x₀), то

доказательство. Имеем

Так как по условию f(x) = y₀ в некоторой (x₀), то

Так же имеем

Т огда в итоге

19.Непрерывность ф-ции в точке.

Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой — непрерывная линия. Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если для любого заданного числа ε > 0 можно найти такое число δ = δ(ε, x₀) > 0, что для всех x, для которых |x − x₀| < δ, будет выполняться неравенство |f(x) − f(x₀)| < ε, или: ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε, x0) > 0 : ∀x |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − f(x₀)| < ε.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ если для любой числовой последовательности {x_n} такой, что x_n=x₀ будет f(x_n) = f(x₀). Так как x − x₀ = x – приращение аргумента, а f(x) − f(x₀) = y – приращение функции в точке x₀, то: Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е. y= 0. В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности. Определение 4. Функция f(x), определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки x0 называется непрерывной слева (справа) в точке x₀, если существует предел слева (справа) функции y = f(x) и он равен f(x₀). Другими словами:

f(x) непрерывна справа в точке x0 ⇒ ∃ f(x) = f(x0); f(x) непрерывна слева в точке x0 ⇒ ∃ f(x) = f(x0). Из определения односторонней непрерывности в точке x₀ и свойств предела функции следует:

Теорема 1. Функция f(x), определенная в некоторой δ-окрестности точки x₀, непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.